Периметр прямоугольника равен 32 см. если его длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится на 7 см в квадрате. найдите стороны данного прямоугольника

Периметр прямоугольника = (а+b)*2. = 32. Поэтому половина периметра = сумме двух смежных сторон прямоугольника, т.е. а+в=16
Пусть х -ширина
Тогда 16-х - длина
х*(16-х) - площадь старого прямоугольника
х-2 -уменьшенная ширина прямоугольника
16-х+5 = 21-х   - увеличенная  прямоугольника
Тогда (х-2)*(21-х) - площадь нового прямоугольника, что больше по условию задачи на 7² (т.е. на 49).
Составляем уравнение:
х(16-х) = (х-2)*(21-х) - 49
16х-х²=21х-42-х²+2х-49
16х-21х-2х-х²+х² = -49-42
-7х = -91
х=13 (см) - ширина старого прямоугольника
16-13 = 3(см) - длина старого прямоугольника.
Проверяем: (13+3)* 2=32 -периметр старого
                         13*3=39 -площадь старого
                        (13-2)*(3+5)=11*8 = 88  - площадь нового
                         88-39 = 49 - на столько новая площадб больше старой. 
все сходится
ответ: 3 см и 13 см                            

Воспользуемся равенством

tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).

Получаем:

tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.

С первым понятно, что делать. Второе:

tg 2x tg 4x = –2,

tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.

Это равенство невозможно.

Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так

Из первого же действия произведения  читатели понимают, что Городничий и главные люди уезда боятся проверяющего. Ведь на тот момент практически не было честных чиновников, и при удачном случае каждых из них старался: обмануть,увильнуть и уйти от ответственности. Сам смысл комедии заключается в боязни народа перед Ревизором, вокруг самого "проверяющего" крутятся те самые "главные герои", и сам текст носит общественное значение, ведь большинство виденного нами в произведении происходит и по сей день, просто сами мы этого не замечаем.