№1) запишите в виде многочлена стандартного вида: а) (3а+4b)² ; b) (2a-b)(4a²+2ab+b² №2) разложите на множители многочлен : а) 9а²-16b² ; b) -5x²+10x-5 . №3) решите уравнение : (2x+3)²=(2x-5)(2x+5)-2 . №4) докажите неравенство 9x²+y² > 6xy-3 . №5) сократите дробь 34²-21² 69²-56² №6) разложите на множители многочлен y²n+1 - 2yn + 1 + y
Ответы
Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
−
x
2
+
6
x
+
1
,
4
=
0
,
8
x
2
−
7
x
=
0
,
x
2
−
4
9
=
0
имеет вид
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
где x - переменная, a, b и c - числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.
Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причём
a
≠
0
.
Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ax2+bx+c=0, где
a
≠
0
, наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
x
2
−
11
x
+
30
=
0
,
x
2
−
6
x
=
0
,
x
2
−
8
=
0
Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax2+c=0, где
c
≠
0
;
2) ax2+bx=0, где
b
≠
0
;
3) ax2=0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+c=0 при
c
≠
0
переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
x
2
=
−
c
a
⇒
x
1
,
2
=
±
√
−
c
a
Так как
c
≠
0
, то
−
c
a
≠
0
Если
−
c
a
>
0
, то уравнение имеет два корня.
Если
−
c
a
<
0
, то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).
Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+bx=0 при
b
≠
0
раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение
x
(
a
x
+
b
)
=
0
⇒
{
x
=
0
a
x
+
b
=
0
⇒
{
x
=
0
x
=
−
b
a
Значит, неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0 при
b
≠
0
всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ax2=0 равносильно уравнению x2=0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.
Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение ax2+bx+c=0
Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
x
2
+
2
x
⋅
b
2
a
+
(
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
+
c
a
=
0
⇒
x
2
+
2
x
⋅
b
2
a
+
(
b
2
a
)
2
=
(
b
2
a
)
2
−
c
a
⇒
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
⇒
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
−
4
a
c
4
a
2
⇒
x
+
b
2
a
=
±
√
b
2
−
4
a
c
4
a
2
⇒
x
=
−
b
2
a
+
±
√
b
2
−
4
a
c
2
a
⇒
x
=
−
b
±
√
b
2
−
4
a
c
2
a
Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
D
=
b
2
−
4
a
c
Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
x
1
,
2
=
−
b
±
√
D
2
a
, где
D
=
b
2
−
4
a
c
Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень
x
=
−
b
2
a
.
3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.
Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).
При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
Теорема Виета
Приведённое квадратное уравнение ax2-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0 обладают свойством:
{
x
1
+
x
2
=
−
p
x
1
⋅
x
2
=
q
надеюсь правильно
а - длина сада
b - ширина сада
длина изгороди – это и есть периметр сада
=================================================================
Р=630 м
S=2,45 га
а - ? м
b - ? м
1 га=10 000 м² ⇒ 2,45 га=24 500 м²
(1)
(2)
из формулы площади прямоугольника (2) выводим формулу нахождения ширины
подставляем в формулу периметра прямоугольника (1)
/·a
умножаем на а для того, чтобы избавится от знаменателя
подставим в уравнение данные P и S
Квадратное уравнение имеет вид:
Считаем дискриминант:
Дискриминант положительный
Уравнение имеет два различных корня:
Следовательно, стороны равны 140м и 175м соответственно
ответ: 140м и 175м стороны сада.
Проверка:
Р=2(а+b)=2(140+175)=2·315=630 (м)
S=a·b=140·175=24500 (м²) или 2,45 га
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Популярные вопросы в разделе
Решите систему равнений с 2 неизвестными) 3х-4у=-7 2х+5у=3
√50b^7/√2b^3 всё под знаком корня выражение
Упрости выражение: (d2r−3dr2):(16dr)+(25r3−2dr2):r2..
Задайте уравнение прямой, проходящей через точки А(-1;3), В(7;-1)
Найдите число, 22% которого равны 110
Найдите значение вырожение 7 3/4-3/22:6/11
Преобразуйте в многочлен (5-3y)(3y+5)
Найдите производную функции: y = (x^3+1)4^
(2a-b)(4a²+2ab+b²)=8а³+4а²в+2ав²-4а²в-2ав²-в³=8а³-в³
9а²-16b² =(3а-4в)(3а+4в)
-5x²+10x-5 =-5(х²-2х+1)=-5(х-1)²=-5 (х-1)(х-1)
34²-21²
=(34-21)(34+21)/(69-56)(69+56)=13*55/13*125=55/125=11/25
69²-56²
ответ 11/25=0,44
(2x+3)²=(2x-5)(2x+5)-2
4х²+12х+9=4х²-25-2
4х²+12х+9-4х²+25+2=0
12х+36=0
12х=-36
х= -36/12=-3