Решить неравенство: 5 (х + (3х - 1) > 4x

5x+10-6x+2-4x>0
12>5x
x<2,4
x∈(-∞;2,4)

По всей видимости, речь идёт о функции у=-5/(1+х^2)

Если это так, то обратим внимание на то, что знаменатель всегда положителен, поэтому значение функции всегда отрицательное.

Далее, вообще верхний предел этой функции равен 0, при х-> +-бесконечности, поэтому максимальное ЦЕЛОЕ значение, которое может принять функция, равно -1.

 

Вот в принципе и всё, однако для строгости нужно ещё доказать, что она где-то примет это значение. Это просто, так как мин. значение функции -5 , это очевидно, если глянуть на знаменатель. Поэтому область значений функции [-5;0). -1 входит в этот интервал. Всё.

 

Ну и последнее. В задаче НЕ ТРЕБУЕТСЯ определить при каком значении х достигается указанный максимум и в общем случае это бывает очень трудно, даже невозможно аналитическими методами сделать. У нас же очень простая функция, поэтому в качестве бонуса определим этот х.

-5/(1+х^2)=-1

x^2 = 4,   x=+-2

То есть указанного целочисленного максимума функция принимает даже при двух разных  значениях аргумента(хотя это было ясно с самого начала, так как функция чётная).

Вот теперь точно всё. 

y=x-(6/x)+14       на [,5; 19]
y=x-(6/x)+14 = (x² - 6 +14x)/x = ( x² +14x -6)/x
наш план действий:
1) ищем производную.
2) приравниваем её к нулю и решаем . какие корни попадают в указанный промежуток.
3)решаем получившееся уравнение
4) находим значения данной функции в найденных корнях и на концах промежутка
5) пишем ответ
Начали?
1) y' = (2x +14 -x² -14x +6)/x² = (-x²-12x +20)/x²
2)  (-x²-12x +20)/x² = 0, ⇒ (-x²-12x +20) = 0,⇒   x² +12x -20 = 0
                                           x ²≠ 0
x² +12x -20 = 0
х = -6 +-√56 ≈ - 6 +- 7,4... 
х₁≈ -6 +7,4... = 0,4...
х₂≈  - 6 -7,4... = -13,4...
3) ни один корень в указанный промежуток не попал.
4) х = 0,5
у = ( x² +14x -6)/x = (0,25 +7 -6)/0,5 = 1,25/0,5 = 2,5
      х = 19
у = ( x² +14x -6)/x = (361 + 266 -6)/19= 33
5) ответ: min y = y(0,5) = 2,5