Квадратный трехчлен разложен на множители: 4х2 – 29х + 45 = 4(х – 5)(х – а) . найдите a

Разложим левую часть на множители:
4х²-29х+45=0
D=29²-4*4*45=121 
х₁₂=(29+-11)/8    
х₁=5  
х₂=9/4
4х²-29х+45=4(х-5)(х-9/4)
Перепишем уравнение:
4(х-5)(х-9/4)=4(х-5)(х-а)
Разделим обе части на 4(х-5)
Получаем:
х-9/4=х-а
Домножим на -1 и разделим на х, получаем:
9/4=а
ответ:9/4 или 2,25 

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить
дифференцированием.
а) ∫(3x^2+4/x+cosx+1)dx=x³+4·ln IxI+sinx +x +C 
проверка:
(x³+4·ln IxI+sinx +x +C)'=3x²+4/x +cosx+1  -  верно

б) ∫[4x/√(x^2+4)]dx=    [ (x^2+4)=t     dt=2xdx ]   =∫2dt/√t=4√t+c=4√(x^2+4)+c
проверка:
(4√(x^2+4)+c)'=[4(1/2)/√(x^2+4)]·2·x =4x/√(x^2+4)  -  верно

в) ∫-2xe^xdx  =-2 ∫xe^xdx= [ x=u         e^xdx=dv  ]
                                           [ dx=du       e^x=v      ]

-2 ∫xe^xdx=-2( u·v- ∫vdu)=-2(x·e^x-∫e^x·dx)=-2(x· e^x-e^x)+c=-2·(e^x)·(x-1)+c
проверка:
(-2·(e^x)·(x-1)+c)'=-2((e^x)'·(x-1)+(e^x)·(x-1)')=-2((e^x)·(x-1)+(e^x))=-2(e^x)·x
=-2x·(e^x) - верно

Объяснение: Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо: 1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y, получим x=f(y). 2) Из полученного выражения выразить у через х.

1) а)Если взять функцию y=x⁴, то она не является обратной, поскольку значение функции имеет несколько значений аргумента, например y=16, при x=2; x=-2.

Однако, если рассматривать данную функцию только на множестве положительных чисел, она будет обратимой:

y=x⁴;  

x=y⁴; ⇒ y=x¹⁾⁴ (х в степени 1/4) -обратная функция

б) у= (5+х)/5  ⇒ х= (5+у)/5 ⇒ 5х= 5+у ⇒ у= 5х - 5 обратная функция.

2) Найти область значений функции f(x)= √x²+6x-1/ x²

Функция имеет смысл, если х≠0.

Пусть выражение √(x²+6*x-1)/x² =а, тогда √(x²+6*x-1) =ах²  

Если а=0, то √(x²+6*x-1)=0 ⇒ х²+6х-1=0, дискриминант D= 36+4=40 ⇒ x₁₂= -3±√10. Уравнение имеет корни, значит а=0 годится., это наименьшее значение f(x).

Если а≠0, то  x²+6*x-1 =а²х⁴ ⇒ x²+6*x-1 >0 , т.е.  на промежутке (-∞;-3-√10)∪(-3+√10) функция f(x)>0 ⇒ область значений Е(f)= (0;+∞)