Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби : 7/∛7=

Корень третьей степени из 7=7в степени 1/3.
Основание степени одинаковые, показатели вычитаются (1-1/3=2/3)

Будет 7 в степени 2/3 или корень третьей степени из 7 в квадрате.

))))))))))0)0))))0))0)))))

Дана функцию f(x) = (x² - 3x) / (x - 4 ).

1 ) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке [-1; 3].  

2 ) Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции  .

ответ:  1 )   наибольшее 1  ;   наименьшее   - 0,8 .

2 )

Функция возрастает: x ∈( -∞ ; 2 ]  и x ∈[ 6 ;∞) .

Функция  убывает   x∈[2 ; 4) и x ∈(4 ;6] ;

Точки экстремумов:  x =2 точка максимума  и x = 6 точка минимума .

Объяснение:   D(f) : ( - ∞ ; 4)  ∪ (4 ; ∞ )                   [    R \ {4 }    ]

( u(x) /v(x) ) ' =  ( u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x) ) / v²(x)

f ' (x) = ( (x² - 3x) / (x - 4 ) ) ' =( (x² - 3x) ' *(x - 4 ) - (x² - 3x)*(x-4) ' ) / (x-4)² =

( (2x - 3)*(x - 4 ) - (x² - 3x)* 1 ) / (x-4)²  = (x² - 8x +12) / (x-4)² =(x-2)(x-6) / (x-4)².

f ' (x)  = 0 ⇔(x-2)(x-6) / (x-4)² =0 ⇒ x₁ =2 ,  x₂ = 6 .

f'(x) не существует в точке x =4 , но в этой точке не существует и функция  

1)

* * *    x₂ = 6 ∉  [ -1 ; 3 ]      * * *

x₁=2 ∈ [ -1 ; 3 ]      f (x₁ ) =f (2 )  =(2² -3*2) /(2 - 4)  = 1 ;

f (a ) =f (-1 ) =( (-1)² -3*(-1) ) /( (-1) - 4)  = - 4/5 = - 0,8 ;

f(b) = f(3) = (3² - 3*3) /(3 -4) = 0

На  промежутке [-1;3]  наибольшее значение функции  равно 1 (если x=2 ),  наименьшее значение  -0,8 (если x= - 1 ) .  

2)

Промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции  .

f ' (x)  = 0 ⇔(x-2)(x-6) / (x-4)² =0        ⇒ x₁ =2 ,  x₂ = 6 .

Функция  возрастает  , если  f ' (x)  ≥ 0

Функция убывает  ,  если  f ' (x) ≤  0

По методу  интервалов

f '(x )  + + + + + + + + + + [ 2 ]  - - - - - - - - - - [ 6]  + + + + + + +

f (x )  ↑  (возрастает)            ↓ (убввает)             ↑  (возрастает)

Функция возрастает: x ∈( -∞ ; 2 ]  и x ∈[ 6 ;∞) .

Функция  убывает   x∈[2 ; 4) и x ∈(4 ;6] .

x =2  и   x=6 точки  экстремумов ( производная функции меняет знак при прохождения через эти точки )

x =2 точка максимума ,   f(2) = 1

x =6 точка  минимума  ,   f(6)=(6² -3*6) /(6 - 4)  =(36-18)/ 2=9.

1.  2x2+3x+19 = 0  

D= b2 - 4ac

D=9 - 4*2·19 = -143

2. 26х2+5х+10=0

D= b2 - 4ac

D= 25 - 4*26*10 = -1015

D<0 корней нет

3. x2+8x+15=0

D= b2 -4ac

D= 64 - 4*15= 4

x1= -b+√D / 2a = -8 +2 / 2*1 = -6/2 = -3

x2= -b - √D / 2a = -8 - 2 / 2*1 = -10/2 = -5

4. 4x2−14x+6=0

D= b2 - 4ac

D= 196 - 4*4*6 = 100

x1= -b+√D / 2a = 14 + 10 / 2*4 = 24/8 = 3

x2= -b - √D / 2a = 14 -10/ 2*4 = 4/8 = 1/2

5. 6x2+6x+15=0

D= b2 - 4ac

D= 36 - 4*6*15 = -324

6. 2x2+19x+1=0  

D= b2 - 4ac

D= 361 - 4*2*1 = 353

D>0 2 корня

7. x2+8x+16=0

D= b2 - 4ac

D= 64 - 4*16 = 0

x= -b+ √D / 2a = -8+0 / 2*1 = -8/2 = -4

8. 2x2−7x+6=0

D= b2 - 4ac

D= 49 - 4*2*6 = 1

x1= -b+√D / 2a = 7 +1/ 2*2 = 8/4 = 2

x2= -b - √D / 2a = 7 -1/ 2*2 = 6/4 = 3/2 = 1 1/2