Докажите, что значение выражения - кратно 3. решение и ответ .

Сделаем преобразование A = 67^7 = 67*67^6=67*(66+1)^6=
67*((66+1)^2)^3=67*(66^2+2*66+1)^3=67(66*(66+2) +1)^3=
67*(66*68+1)^3=
67*((66*68)^3 + 3*(66*68)^2 +3 *(66*68) + 1)=
66*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2  +3*68) + 67=
3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2  +3*68) + 67
A=A1+A2, A1=3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2  +3*68) - кратно 3
A2=67
B=32^8=(33-1)^8=((33-1)^2)^4=(33^2-2*33+1)^4=(33(33-2)+1)^4=
(33*31+1)^4=((33*31+1)^2)^2=((33*31)^2+2*33*31+1)^2=
((33*31)(33*31+2)+1)^2=(33*31)^2*(33*31+2)^2+2*33*31*(33*31+2)+1=
3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2)+1
B=B1+B2
B1=3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2) - кратно 3
B2=1
C=67^7-32^8 = A-B=A1+A2-B1-B2=(A1-B1)+(A2-B2)
A1-B1=кратно 3, A2-B2=67-1=66=3*22 - кратно 3
т.о. исходное выражение кратно 3
можно решить менее громоздко, если сделать замену переменных
М=66*68, и N=33*31, которые кратны трем, но так нагляднее.

Хорошо, вам не объяснили толково что такое вообще математическая логика, но это на самом деле нормальный случай, сами дают и не знают, что дают.
Давайте разберемся.
Пусть некоторое A - утверждение. Будем называть утверждением некоторое предположение, которое характеризуется либо как истинное и тогда утверждение равняется единице, либо как ложное и тогда утверждение равняется нулю.
В данном случае за утверждение принимается:
A - предположение, говорящее, что Первая буква гласная.
B - предположение, говорящее, что Последняя буква согласная.
Немного об операциях в т.н. алгебре логики (термин сложный и его нужно разъяснять отдельно, делается это в курсе т.н. "высшей алгебры").
Это сложение (известное также как объединение в теории множеств) и умножение (пересечение). Здесь их называют логическое "ИЛИ" (дизъюнкция) и логическое "И" (конъюнкция). Раз уж речь идет об алгебре, то, конечно, имеем также логическое "НЕ". По аналогии с теорией множеств, это дополнение к какому-то операнду (а суть унарная операция, интересная вещь).
Давайте запишем как нужно само выражение.
-A∧-B (вместо минусов нужно черточку над буквой).
Таблица истинности выглядит так:
В наименованиях столбцов пишите A и B и ваше выражение третьим.
Затем подставляете различные наборы значение A и B, A и B принимают только значения 0 и 1. Получаете соответственно 0 или 1.
"НЕ" - значит, утверждение обращается - было 1, стало 0, и наоборот.
"И" - дает 1 если оба операнда 1, иначе дает 0.
"ИЛИ" - дает 0 если оба операнда 0, иначе дает 1.
Вот и все. Заполняете и получаете нужное.

Характеристика мечтателя "Белые ночи " .
Настенька - главная героиня произведения, она занимает основное место, благодаря ей развиваются все события.
Она милая, доброжелательная,скромная,спокойная, чувственная и ранимая девушка.В начале знакомства с Мечтателем она показала себя с лучшей стороны, но внешность обманчива, и Мечтатель увлекается ей, хотя девушка сразу сказала: "на дружбу я готова. . . а вот влюбится нельзя вас!".
Основные события происходят в конце повести, Настенька, обиженная на того человека, которого любит, делает необдуманный шаг, решаясь строить с Мечтателем планы на будущее, но все рухнуло, так же внезапно, как и начиналось. Мечтатель снова один, Настенька ушла, предав героя. Получив на утро письмо, молодой человек долго размышлял, но у него не было чувства грусти, а даже наоборот.
Девушка долго не замечала чувств героя, да и потом просто "воспользовалась" этим, но тот факт, что она искренне любила другого человека частично извиняет её. В своем последнем письме она просила не забывать о ней и любить её.