1) найти число корней в следующем уравнении: 2) решить уравнение:

1) ОДЗ: 1≤х≤4
решение - графическое...
нужно ведь не корни найти, а количество корней)))
одна функция монотонно убывает, другая монотонно возрастает,
они если и пересекутся, то всего лишь ОДИН раз.
ответ: один корень
2) ОДЗ: х>0; x≠1
(log(5)x)³ + 3(log(5)x)² = -2*log(5)x 
использована формула перехода к логарифму по новому основанию
(log(5)x)³ + 3(log(5)x)² + 2*log(5)x = 0
log(5)x*((log(5)x)² + 3*log(5)x + 2) = 0
1. log(5)x = 0 ---> x=1 ---посторонний корень (вне ОДЗ)
в скобках --квадратное уравнение относительно log(5)x
по т.Виета корни (-2) и (-1)
log(5)x = -2 ---> x₁ = 0.04
log(5)x = -1 ---> x₂ = 0.2

Объяснение:

1) ax^2 - (a+3)x + 2 = 0

При а=0 уравнение имеет 1 корень

-3x + 2 = 0; x = 2/3; не подходит.

При а не = 0 будет квадратное уравнение.

D = (a+3)^2 - 4*a*2 = a^2+6a+9-8a = a^2 - 2a + 9 > 0 при любом а не = 0.

Значит, уравнение имеет два корня.

Нам нужно, чтобы корни были разных знаков.

x1 = ((a+3) - √(a^2-2a+9))/2 < 0

x2 = ((a+3) + √(a^2-2a+9))/2 > 0

Умножаем на 2 корни

(a+3) - √(a^2-2a+9) < 0

(a+3) + √(a^2-2a+9) > 0

Отделяем корни

√(a^2-2a+9) > (a+3)

√(a^2-2a+9) > -(a+3)

Корень арифметический, то есть неотрицательный.

При а < -3 корень в 1 неравенстве больше отрицательного числа, что верно при любом а.

Корень во 2 неравенстве при этом больше положительного числа.

a^2-2a+9 > a^2+6a+9

8a < 0; a < 0

Решение а < -3

При а >= -3 и а не = 0 наоборот, корень во 2 неравенстве больше отрицательного числа, а в 1 неравенстве больше положительного.

Неравенство такое же

8a < 0; a < 0

Решение a € [-3; 0)

ответ а < 0

2) x^2 - 2(a-1)x + (2a+1) = 0

Это уравнение квадратное при любом а.

D/4 = (a-1)^2 - (2a+1) = a^2-2a+1-2a-1 = a^2-4a > 0

a(a-4) > 0

a € (-oo; 0) U (4; +oo)

x1 = (a-1) - √(a^2-4a) > 0

x2 = (a-1) + √(a^2-4a) > 0

Если 1 неравенство верно, то 2 неравенство верно автоматически.

√(a^2-4a) < (a-1)

a^2 -4a < a^2-2a+1

4a-2a+1 > 0

2a > -1

ответ: а € (-1/2; 0) U (4; +oo)

Y=x⁴-8x²+3   x=0  y=3  
 D=64-12=52          x²=1/2[8-√52]   x²=1/2[8+√52]
функция четная достаточно построить при х>0 и отразить симметрично относительно оси у.
y'=4x³-16x=4x(x²-4)=4x(x+2)(x-2)
-202
        -                  +                 -             +        "+" возрастает  "-" убывает
график при x≥0
линия выходит из х=0  у=3   идет вниз пересекает ось х при х≈0,6 продолжает снижаться до минимума при х=2 достигая значения
у(2)=-13 затем возрастает и пересекает ось х при х≈2,7 и растет до
+∞

для х отрицательных отразить зеркально оси у.