Мне надо с решением х+2х++2012х=-2-

X+2x+...+2012x=-2-4-...4024
x(1+2+...+2012)=-2(1+2+...2012)
x=-2

Понятно, что a>=0.

 

Левая часть переписывается как |x|^2 - 8|x| + 12, поэтому если x=b корень уравнения, то и x=-b - корень.

Так как уравнение должно иметь 6 корней, то возможен только такой случай: уравнение имеет ровно 3 положительных корня.

Таким образом, уравнение |x^2-8x+12| = a должно иметь ровно 3 положительных корня. Но это уравнение можно записать как совокупность двух уравнений:

[ x^2-8x+(12-a)=0, x^2-8x+(12+a)=0 ]

Заметим, что по теореме Виета если второе уравнение имеет корни, то все они положительны (т.к. сумма корней 8, а произведение положительно и равно 12+a).

 

1 случай. Второе уравнение имеет 1 корень, а первое уравнение - 2 положительных корня.

Несложно убедиться, что первое условие выполняется только при a=4. Подставим в первое уравнение а=4:

x^2-8x+8=0

D/4=16-8=8>0

уравнение имеет 2 корня, а из теоремы Виета следует, что эти корни положительны.

Итак, при a=4 уравнение имеет нужное число корней.

 

2 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое имеет корни разных знаков.

Для того, чтобы узнать, когда выполняется первое условие, вычислим дискриминант:

D/4=16-12-a=4-a>0, откуда a<4.

Для того, чтобы выполнялось второе условие, нужно чтобы 1) корни были и 2) ихз произведение было отрицательно.

D/4=16-12+a=4+a>0 - верно для всех а>0

12-a<0, откуда a>12.

Очевидно, такой случай невозможен.

 

3 случай. Второе уравнение имеет 2 корня, а первое - один корень, который положителен.

Понятно, что у первого уравнения 1 корень будет только при a=-4, но a>0. Противоречие.

 

Итак, уравнение имеет 6 корней только при a=4, это число и идет в ответ.

 

P.S. Традиционный решения таких задач - графический. Для того, чтобы понять, сколько корней имеет уравнение f(x)=a, нужно всего лишь построить график y=f(x), а затем смотреть, при каких a прмая y=a пересекает график в нужном количестве точек. График |x^2-8|x|+12|=y см. во вложении. Как правило, такой приводит к ответу быстрее, чем аналитическое решение.

При котором наибольшем значении параметра а уравнение                            | x² + 8|х | +12 | = а будет иметь  4 корни ?

ответ:  a ∈ ∅

Объяснение: | x² + 8|х| +12 |= а  ⇔ | |x|² + 8|х| +12 | =  а

замена : t = |x | ≥ 0          

| t² + 8t  +12 | = а  

Ясно,что  это  уравнение  может иметь  решение , если а ≥ 0

Фиксируем :   а ≥ 0                                                                                                      

Если  a =0 :   t² + 8t +12  = 0  

( D = 4 > 0 два  корня  и они оба отрицательны )

{t₁ + t₂  = - 8  <  0  ; t₁ * t₂ = 12  > 0                

* * *  t₁ = - 6 ;  t₂  = - 2. * * *    ⇒   x  ∈ ∅

[ t² + 8t+ 12  = - a   ;  (совокупность        

[ t² + 8t + 12 =  а .                     уравнений )    

1 .   t² + 8t+ 12  = -  a

t² + 8t+ 12 + a =0  ,   D/4 = 4² - (12+a)  =  4 - a  

D< 0 ⇔ 4  -  a  < 0 ⇔ a  >  4  → нет  корней ( действительных )

D= 0  ⇔ 4  -  a  = 0⇔ a  = 4   двукратный корень t₁ = t₂  = - 4 < 0  →  исходное уравнение не имеет  корней

D > 0 ⇔ 4  -  a  >  0⇔  а <  4  →  два отрицательных корней

t₁ = -4 - √(4  -  a) <  0 ;   t₂ = - 4 + √(4  -  a)  <  0

опять →  исходное уравнение не имеет  действительных корней

- - - - - - - - - - - - - - - -

2.  t² + 8t + 12 =  а .

t² + 8t + 12 -  а = 0    D/4 = 4² - (12- a)  =   4+ a

D< 0 ⇔ 4  +  a  < 0 ⇔ a < - 4    невозможно  ( т.е. для всех   a  > 0 всегда имеет корней )

D = 0 ⇔  4  + a  = 0⇔  a = -  4   двукратный корень t₁ =t₂  = - 4 < 0  →  исходное уравнение не имеет  действительных корней

D >  0  ⇔  4  + a > 0  ⇔ a > - 4 →  два корня , притом  из них   один  

t₁ = - 4 - √(4  +  a)  <  0 отрицательный

t₁ = - 4 - √(4  +  a)  <  0 ;   t₂ = - 4 + √ (4  + a)

Второй корень  может принимать  значение разных знаков и нуль

t₂  < 0  ⇔  - 4 + √ (4  + a)  <0 ⇔√ (4  + a)  < 4  ⇔    0 < a< 12  

→  исходное уравнение не имеет  корней  (  x ∈ ∅ )

t₂   = 0 ⇔ - 4 + √ (4  + a)  =0 ⇔√ (4  + a)  = 4 ⇔ 4  + a  = 16 ⇔  a= 12

→  исходное уравнение имеет один корень  x = 0

t₂  >  0 ⇔√(4  + a)  > 4 ⇔  4  + a  > 16 ⇔ a >  12

* * *  а  >  12   исходное уравнение имеет 2 корня   * * *

резюме

нет корней  :    x ∈ ∅ ,  если - ∞ < a < 12 ;

один корень :   x = 0 , если  a= 12  ;

максимум два   корня  ,  если    a > 12 .