Решите уравнение: x^4 - 2*sqrt(3)*x^2 + x + 3 - sqrt(3) = 0

x^4 - 2*sqrt(3)*x^2 + x + 3 - sqrt(3) = 0

представим єто уравнение как квадратное относительно sqrt(3)

 

3-(2x^2+1)sqrt(+x)=0

d=4x^4+4x^2+1-4x^4-4x=4x^2-4x+1=(2x-1)^2

 

sqrt(3)=(2x^2+1+2x-1)/2=x^2+x

или sqrt(3)=(2x^2+1-2x+1)/2=x^2-x+1

 

решаем первое

x^2+x-sqrt(3)=0

d=1+4sqrt(3)

x1=-1+sqrt(1+4sqrt(3))

x2=-1-sqrt(1+4sqrt(3))

 

решаем второе

x^2-x+1-sqrt(3)=0

d=1-4+4sqrt(3)=4sqrt(3)-3

x3=1-sqrt(4sqrt(3)-3)

x4=1+sqrt(4sqrt(3)-3)

решение: 1) раскроем скобки:

                      4-4с+с^2-c^2-4c

                    2)сократим c^2 и -c^2

                    3) остается 4-8c

                    4) подставляем в значение с 0,5,    

                                    4-8*0,5=0

                      5)ответ: 0

                                                                                              1

здесь заметим, что первый из углов - это 2π или π/2. значит, воспользуемся формулами :

ctg(2п+a)*sin(п\2+a) / (cos(п-a)*tg(3п\2-a) = ctg a * cos a / -cos a * ctg a = cos a / -cos a = -1

                                                                                              2

  cначала преобразуем числитель отдельно. для его преобразований воспользуемся формулами двойного аргумента.

 

16sin12º*cos12º*cos24º = 8 * 2sin12º*cos12º*cos24º = 8sin 24°cos 24° = 4 * 2sin 24°cos 24° = 4sin 48°

получим,

4sin 48° / cos 42° = 4sin(90° - 42°) / cos 42° = 4cos 42° / cos 42° = 4

 

                                                                                                  3

здесь вся сложность заключается в том, чтобы найти точное значение выражения ctg(arccos 1/4). поэтому для его нахождения воспользуемся методом прямоугольного треугольника(рисунок сейчас приложу). рассмотрим прямоугольный треугольник.

пусть arccos 1/4 = α, тогда по определению арккосинуса cosα = 1/4

по сути, как несложно догадаться, нам нужно найти ctg α, зная его косинус.

cos α = a/c

a/c = 1/4, отсюда    a = 1, c = 4

ctg α = a/b, не хватает только лишь b. найдём её по теореме пифагора,

b² = c² - a²

b² = 16 - 1 = 15

b = √15

тогда, ctg α = a/b = 1/√15 = √15/15

но α = arccos 1/4. значит, ctg(arccos 1/4) = √15/15

теперь осталось только верно посчитать:

2⁻² = 1/4

√15 / 15 - 1/4 = (2√15 - 15 )/ 60