(x-5)⁴+(x-5)²-20=о ответ с решением

Пусть (x-5)^2 = t, тогда t^2 + t - 20 =0
D= 1-4*1*(-20)=81=9^2
t1=(-1-9)\2=-5, (x-5)^2=-5 не имеет смысла

t2=(-1+9)\2=4, (x-5)^2=4
  x^2 - 10x + 21 = 0
  D=100-4*1*21=16=4^2
  x1=(10-4)\2=3
  x2=(10+4)\2=7
ответ: 3 и 7.

1) 2sin(3x-П/4)+1=0
2sin(3x-П/4)=-1
sin(3x-П/4)=-1/2
можно обозначить 3х-П/4 за y, тогда:
sin y=-1/2
y=-П/6+2Пk
или
y=-5П/6+2Пk
производим обратную замену 
3х-П/4=-П/6+2Пk
3х-П/4=-5П/6+2Пk

3х=-П/6+П/4+2Пk
3х=-5П/6+П/4+2Пk

3x=П/12+2Пk
3x=-7П/12+2Пk

x=(П/12)/3+(2Пk)/3
x=(-7П/12)/3+(2Пk)/3

x=П/36+(2Пk)/3
х=-7П/36+(2Пk)/3
2)sin(x/2+П/3)=1
x/2+П/3=П/2+Пk
x/2=П/2-П/3+Пk
х/2=П/6+Пk
x=(П/6)*2+(Пk)*2
x=П/3+2Пk
3)sin (2x+1)=-3/4
2x+1=-arcsin(3/4)+2Пk
2x+1=П+arcsin(3/4)+2Пk

2x=-arcsin(3/4)-1+2Пk
2x=П+arcsin(3/4)-1+2Пk

x=1/2*(-arcsin(3/4))-(1/2)+Пk
x=П/2+1/2*(-arcsin(3/4))-(1/2)+Пk

4)sin (2x -1)=2/5
2х-1=arcsin 2/5+2Пk
2х-1=П-arcsin 2/5+2Пk

2х=(arcsin 2/5)+1+2Пk
2х=(П-arcsin 2/5)+1+2Пk

х=1/2*(arcsin 2/5)+1/2+Пk
х=П/2-1/2*(arcsin 2/5)+1/2+Пk

Надо доказать, что всегда найдется хотя бы одна четверка рядом  сидящих детей вида (мдмд), (ммдд), (дмдм) или (ддмм). ("м" - мальчик, "д" - девочка). Разобьем всех детей на пары рядом сидящих. Получится 50 пар.

Пусть общее количество пар вида (мд) и (дм) равно k, тогда количество пар (мм) равно (50-k)/2. Количество пар (дд) также равно (50-k)/2 (что, кстати, означает, что k - четное). Рассмотрим все возможные случаи.
1) Если на круге вообще не оказалось пар (мм), и соответственно, пар (дд), то все пары должны быть вида (мд) или (дм), но, как легко видеть, любые 3 таких соседних пары содержат нужную четверку из условия.
2)На круге есть пары (мм), и обязательно столько же пар (дд). Тогда обязательно есть пара (мм) и пара (дд), между которыми, если и есть какие-то другие пары, то только разнополые вида (мд) или (дм). Тогда:
а) Если между (мм) и (дд) вообще нет никаких пар, т.е. имеем четверку (ммдд) или (ддмм) и они удовлетворяют условию.
б) Если между (мм) и (дд) только одна пара (мд) или (дм), то, получается шестерка (мммддд) или (ммдмдд). Очевидно, в такой шестерке есть нужная четверка из условия.
в) Если между (мм) и (дд) находятся две разнополые пары, то, в случае, если это одинаковые пары  (мд)(мд) или (дм)(дм), то они и дают нужную четверку.  Если же разные - (мд)(дм) или (дм)(мд), то получается восьмерка (мммддмдд) или (ммдммддд), которая также содержит нужную четверку из условия.
г) Если между (мм) и (дд) находится 3 или больше разнополых, то как и в пункте 1), в них обязательно есть нужная четверка.