Найдите производную функции y=sin^3(4x+5) в точке x0=-1

F'(x)=3sin^2(4x+5)cos(4x+5)*4=12sin^2(4x+5)cos(4x+5)=12sin^2(1)cos(1)=

Это тождество Эйлера, являющееся частным случаем формулы Эйлера при .

Тождество объединяет между собой пять фундаментальных чисел из разных областей математики, связь между которыми на первый взгляд неочевидна:

1) основание натурального логарифма (алгебра);

2) отношение длины окружности к ее диаметру (геометрия);

3) мнимую единицу (комплексные числа);

4) нейтральный элемент относительно умножения 1 (арифметика);

5) нейтральный элемент относительно сложения 0 (арифметика).

Тождество примечательно в первую очередь своей простотой и элегантностью. Так, Ричард Фейнманн называл его "самой замечательной формулой в математике".

Примечательна фраза профессора Гарвардского университета Бенджамин Пирса, произнесенная после доказательства тождества Эйлера: "мы не можем понять её [формулу], и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной".

12p^4 - 11p^3 + 54p^2 + 10p - 25.

Объяснение:

1. Выполним умножение: каждое слагаемое первого трехчлена поочередно умножим на каждое слагаемое второго трехчлена, результаты сложим, учитывая знаки.

(p^2 − p + 5)(12p^2 + p − 5) = p^2 × 12p^2 + p^2 × p - p^2 × 5 - p × 12p^2 - p × p + p × 5 + 5 × 12p^2 + 5 × p - 5 × 5 = 12p^4 + p^3 - 5p^2 - 12p^3 - p^2 +5p + 60p^2 + 5p - 25 = 12p^4 - 11p^3 + 54p^2 + 10p - 25.

2. Приведем подобные слагаемые, поочередно сложив коэффициенты переменных одной степени.

12p^4 - 11p^3 + 54p^2 + 10p-25