Сумма кубов членов бесконечной прогрессии относится к сумме квадратов её членов, как 20 : 21. найдите третий член прогрессии, если сумма первых двух членов равна 1, 25

Сумма кубов членов геометрической прогрессии:

В пределе при n стремящемся к бесконечности:

аналогично для квадратов:

Из условия:

Кроме того:

Для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии справедлива формула:



Значит для второй и третьей последовательности (квадратов и кубов) справедливо:



Нам известно, что:



И известно:



Получаем:







Получаем уравнение



Перебором делителей свободного члена находим, что корнем является q = 1 (который, нам, однако, не подходит, поскольку |q| должен быть меньше 1 т.к. прогрессия бесконечно убывает) и поделив на q - 1 получаем:



Находя корни квадратного уравнения, получаем:



Из которых (по причине, описанной ранее) подходит только 1/4.

Дальше из условия  находим, что , а третий член равен

Платная трасса:
первая четверть  250 км, стоимость 250*10=2500 р проезд
вторая                                              2500/2=1250
третья                                                  1250/2=625
четвертая                                              625/2=312,5
бензин  1000/100*10*100=10 000
итого10000+2500+1250+625+312,5= 14687,5 руб

 бесплатная трасса 1000*1,5=1500 км  длина
едет по ней 1/3 часть  1500/3=500 км
бензин по бесплатной трассе 500/100*15*100=7500 руб
бензин по платной части 500/100*10*100=5000 руб
итого 7500+5000+625+312,5= 13437,5 руб
ответ        13437,5 руб 

Х - первый сосуд
у - второй сосуд
z - третий сосуд
 
             Было        Взяли           Осталось        
1 сосуд      х              ¹/₃х           х-¹/₃х=²/₃х
              Было       Добавили      Стало         Взяли         Осталось             
2 сосуд      у           ¹/₃х                у+¹/₃х     ¹/₄(у+¹/₃х)   у+¹/₃х-¹/₄(у+¹/₃х)=9
                                                                                  (у+¹/₃х)(1-¹/₄)=9
                                                                                   у+¹/₃х=9 : ³/₄
                                                                                   у+¹/₃х=12
              Было    Добавили       Стало             Взяли                 
3 сосуд      z      ¹/₄(y+¹/₃x)     z+¹/₄(y+¹/₃x)  ¹/₁₀(z+¹/₄(y+¹/₃x))   
              Осталось
             z+¹/₄(y+¹/₃x)-¹/₁₀(z+¹/₄(y+¹/₃x))=9
             (z+¹/₄(y+¹/₃x))*(1-¹/₁₀)=9
             z+¹/₄(y+¹/₃x)=9 : ⁹/₁₀
             z+¹/₄(y+¹/₃x)=10
             z+¹/₄ * 12=10
             z+3=10
             z=7
 
                  Осталось     Добавили                     Стало
 1 сосуд          ²/₃х            ¹/₁₀(z+¹/₄(y+¹/₃x))          ²/₃х+¹/₁₀(z+¹/₄(y+¹/₃x))=9
                                                                          ²/₃x+¹/₁₀ * 10=9
                                                                          ²/₃x=9-1
                                                                          ²/₃x=8
                                                                           x=8 : ²/₃
                                                                           х=8 * ³/₂
                                                                           х=12
2 сосуд    у+¹/₃ * 12=12
                у+4=12
                у=12-4
                у=8
1 сосуд - 12 литров
2 сосуд - 8 литров
3 сосуд - 7 литров
ответ: 12 л; 8л; 7л.