Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2: 3, начиная от вершины угла при основании треугольника. найдите стороны треугольника, если его периметр равен 15 см

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Пусть х - одна часть.
Значит, AK =  AE = 2x
CT = CE = 2x
BT = BK = 3x
2x  · 4 + 3x · 2 = 15
8x + 6x = 15
14x = 15
x = 15/14
AB = BC = 5x = 75/14
AC = 4x = 30/7

За расстояние между городами возьмём единицу, тогда
скорость грузовой машины - 1/3 проезжает за час
скорость легковой машины - 1/2 тоже за час

машины выехали из городов навстречу друг другу, и через какое-то время t (часов), они встретятся, при этом расстояние, которое преодолеет грузовая машина S₁ = (1/3)*t = t/3, а расстояние которое преодолеет легковая машина S₂ = (1/2)*t = t/2, при этом S₁+S₂ = 1, то есть

(t/3) + (t/2) = 1, решаем это уравнение:

(2t/6) + (3t/6) = 1,
(2t+3t)/6 = 1,
5t/6 = 1,
t = 6/5 (часа) = 1+(1/5) часа = 1 час 12мин.

подставим 4а во второе уравнение системы. получим 4ху=2х²+2у²-2, упростим

-2ху+х²+у²=1; (х-у)²-1=0; (х-у-1)*(х-у+1)=0;  1)х=у+1 или  2)х=у-1 получили две прямые.

Если х=у+1,то 4у*(у+1)+2=а; 4у²+4у+2=а; (2у+1)²=а-1; Если а=1 ,то получим один корень, если а>1, то два корня. Если а<1, то корней нет.

Если рассмотреть первое уравнение, то при каждом a ≠ 0 — уравнение окружности c центром (0, 0) и радиусом а√2, тогда система при а=0  имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи. При а≤0 уравнение не имеет смысла.

используем теперь результат выше и уточним ответ на задачу.

Если х=у+1, то у²+у²+2у+1=2а,у²+у+1/2=а; (у+1/2)²=а-1/4, при а=1/4 уравнение имеет одно решение, а при а >1/4  два различных решения.

Если х=у-1, то у²+у²-2у+1=2а,у²-у+1/2=а; (у-1/2)²=а-1/4, при а=1/4 уравнение имеет одно решение, а при а >1/4  два различных решения.