Провести полное исследование и построить график функции: f(x)=x-lnx

task/24717253
Провести полное исследование и построить график функции:
f(x)=x-lnx
================================
1.
Область Определения Функции (ООФ) :  x >0 или иначе x ∈ (0 ;∞)
---
2.
функция ни четная , ни ничетная ,ни периодичная 
---
3.
 График с координатными  осями не пересекается
---
4.
определим  интервалы  монотонности и экстремумы 
f '(x) =(x -Lnx) ' = (x) ' - (Lnx) '  =1 -1/x = (x-1)/ x
f '(x) =0 ⇒  x=1   ( стационарная точка)
Если 0< x <1 , то   f '(x) <0 _ функция убывает 
Если   x > 1 , то   f '(x) >0_ функция возрастает
значит x=1 является точкой экстремума,именно точкой минимума
минимальное значение  f(1) =1 -Ln1 =1 -0 =1   
---
5.Точки перегибов , интервалы выпуклости , вогнутости 
f ''(x) =(f'(x)) ' =(1 -1/x) '  = (1 -x⁻¹ ) ' = 0 +1*x ⁻² =1/x²  >0 , следовательно
график   функции вогнутая   при всех  значениях из ООФ , т.е.
нет точек перегиба
6.
x=0 (иначе ось ординат) является вертикальной  асимптотой 
x→∞ , f(x)→∞

схематический график см прложения

Для того,чтобы сумма квадратов корней уравнения равнялась какой-либо величине, эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным,т.е
(3p-5)^2-4(3p^2-11p-6)>=0. При таких "p" у исходного уравнения найдутся(возможно, совпадающие) корни x1 и x2. Запишем для них теорему Виета:
x1+x2=-b/a=5-3p
x1*x2=c/a=3p^2-11p-6
Теперь,не вычисляя корней, можно найти сумму их квадратов через "p": x1^2 + x2^2.
Выделим полный квадрат:
(x1+x2)^2-2x1*x2= (5-3p)^2-2(3p^2-11p-6).
По условию, эта сумма квадратов  равна 65.
Получаем:
(5-3p)^2-2(3p^2-11p-6)=65
Решим его:
25-30p+9p^2-6p^2+22p+12-65=0
3p^2-8p-28=0
D=(-8)^2-4*3*(-28)=400
p1=(8-20)/6=-2
p2=(8+20)/6=14/3
Проверим, подставив эти значения "p" в исходное уравнения, чтобы убедиться, что дискриминант неотрицателен.
Проверять здесь не буду из-за экономии времени. Все найденные "p" подходят.
Теперь найдем корни уравнения:
1)p=-2
x^2-11x+28=0
x1=4; x2=7
2)p=14/3
x^2+9x+8=0
x1=-8; x2=-1
ответ: при p=-2 x1=4, x2=7; при p=14/3 x1=-8, x2=-1.

 Пусть скорость второго  автомобилиста равна v км/ч,
тогда  скорость первого равна  v+30 км/ч 
Через 2 часа после начала движения расстояние между первой  машиной и пунктом А было 2(v+30), а после того, как он  повернул и проехал час в обратном направлении, оно стало  равно расстоянию, которое он проезжает за 1 час, т.е его  скорости (v+30) км  
Второй двигался 2+1=3 часа до времени, когда расстояние  между машинами 
 стало 290 км 
Вторая машина, двигаясь без остановки, проехала 3v км,
и от  пункта В она была на на этом расстоянии (S=vt) 
 Итак, первая машина была от А на расстоянии v+30 км,
вторая  от пункта В была на расстоянии 3 v, и между ними был  
промежуток пути длиной 290 км.  
Составим и решим уравнение.  
v+30+290 +3v =600 
4v= 280
 v=70 км/ч - скорость второй машины 
v+30=100 км/ч (скорость первой машины)
Проверка: 
100+290+3*70=600 км