Найти 5-ый член арифметической прогрессии, если среднее арифметическое первых девяти ее членов равно 26.

Если среднее арифметическое крайних чисел последовательности равно 26, то и арифметическое чисел 4 и 6 также равно 26. А это и есть 5 член данной прогрессии.
ответ: 26.

2*3^n≤2^n+4^n

преобразуем

2  ≤ (2^n+4^n ) / 3^n = (2/3)^n +(4/ 3)^n 

в правой части оба слагаемые положительные числа

первое слагаемое  (2/3)^n - дробь -всегда меньше  1

второе слагаемое  (4/3)^n - дробь -всегда  больше  1

достаточное условие доказательства , чтобы одно из слагаемых было БОЛЬШЕ  2

рассмотрим n=1,2,3

n=1    

(2/3)^1 +(4/ 3)^1 = 2/3+4/3=6/3 =2 <выполняется равенство  4/3  < 2

n=2

(2/3)^2 +(4/ 3)^2 = 4/9+16/9=20/9 =2+2/9 >2 <выполняется НЕравенство  16/9  < 2

n=3

(2/3)^3 +(4/ 3)^3 = 8/27+64/27=72/27 =2+18/27 <выполняется НЕравенство  64/27 > 2

второе слагаемое  (4/3)^n  > 2 , для всех  3 ≤ n 

следовательно,   для любого натурального n справедливо заданное неравенство

ДОКАЗАНО

Решение.

Впишем четырехугольник ABCD в прямоугольник EFGH со сторонами,

параллельными диагоналям (EF || AC и EH || BD) - смотри рисунок.

Пусть L - точка пересечения прямых DC и EF, а M - точка на прямой HG такая, что LM || FG.

Тогда ABLC - параллелограмм, следовательно, AB = CL.

Так как GM = FL = EB = HD и AH = CG, то треуг-к AHD = треуг-ку CGM ,

следовательно, AD = CM. BC + CM = BC + AD .

Но BM = DL как диагонали прямоугольника BLDM, и DL = DC + CL = DC + AB.

Следовательно, AD + BC = DL = DC + CL = DC + AB, что и требовалось доказать.