Решить неравенство: х²+4х-5 < или = 0

Решаем методом интервалов.

Ну, решать здесь нечего, так как это ни задача, ни неравенство, ни даже уравнение. Здесь можно только упростить, разложить на множители.

Видим, что у первый двух слагаемых есть общий множитель 2. А у вторых двух -t. Объединим одночлены в группы и вынесем общее. Если что, вынести общий множитель - значит разделить каждое слагаемое на него. Например, у 2t и 2q общий множитель 2. Чтобы вынести его за скобку, мы должны 2t поделить на 2 и 2q поделить на 2. То есть: 2t+2q=2(t-q). Можем себя проверить, умножив двойку на эту скобку. Получим тоже самое: 2*t+2*q. Таким образом:

У t и q общее было - t. Мы разделили - t² и - tq на - t, получили t и q.

Теперь можем увидеть, что t+q - это общий множитель у получившихся слагаемых. Можем его тоже вынести, поделив 2(t+q) на t+q и - t(t+q) тоже делим на t+q. Получаем:

Это максимально упрощённое выражение.

Такое упрощение называют разложением многочлена на множители.

1) Если дискриминант квадратного трёхчлена D>0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных действительных корня.

В этом случае график квадр. трёхчлена - парабола, пересекает ось ОХ в двух точках х₁ и х₂, называемых корнями квадр.трёхчлена.

Причём, если а>0, то у параболы у=ах²+bx+c ветви направлены вверх.

Если же а<0, то ветви направлены вниз.

Соответственно, при решении квадратного неравенства ax²+bx+c>0 в случае D>0 , a>0 будем иметь ответ х∈(-∞,x₁)∪(x₂,+∞) ;

в случае D>0 , a<0 будем иметь х∈(х₁,х₂) , где х₁<х₂ - корни кв. трёхчлена.

См. рис. 1.

2) Если D=0, то квадр. уравнение имеет один корень (а точнее два действительных равных корня х₁=х₂) и квадратный трёхчлен будет представлять из себя полный квадрат: (х-х₁)²=0, х=х₁ .

График квадр. трёхчлена пересекает ось ОХ только в одной точке х=х₁.

При решении неравенства ax²+bx+c>0:

при D=0 , a>0 имеем х∈(-∞,х₁)∪(х₁,+∞) ;

при D=0 , a<0 решений неравенство не будет иметь, т.к. вся парабола расположена ниже оси ОХ, а ниже оси ОХ ординаты отрицательны (у<0),

то есть y=ax²+bx+c<0, либо ах²+bx+с=0 при х=х₁ .

В ответе надо записать: х∈∅ .

См. рис. 2.

3) Если D<0, то квадр. уравнение не имеет действительных корней.

График квадр. трёхчлена НЕ ПЕРЕСЕКАЕТ ось ОХ ни в одной точке,

при а>0 график расположен выше оси ОХ и все у(х)>0,

при а<0 график расположен ниже оси ОХ и все у(х)<0.

При решении квадр. неравенства ах²+bx+c>0:

при D<0 , a>0 имеем х∈(-∞,+∞) , так как какое бы значение "х" мы ни выбрали, соответствующее значение "у" будет положительным (у(х) >0).

при D<0 , a<0 имеем х∈∅, так как при любом значении "х" соответствующее значение "у" будет отрицательным (у(х)=ах²+bx+с<0) .

См. рис. 3.