Даны три различных натуральных числа k, m и n. докажите, что числа 2^k, 2^m, 2^n, можно вписать вместо многоточий в равенство ++=0 таким образом, чтобы у получившегося квадратного уравнения были два различных корня

Пусть - 

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня при дискриминанте большим нуля:

При  это равенство будет выполняться всегда

(g-x)(x+3)>=0
(x-g)(x+3)<=0
данное выражение имеет два корня:
x1=-3 и x2=g
если решать данное неравенство методом интервалов, то на координатной оси получатся две точки -3 и g. И решение данного неравенства будет между этими точками.
Рассмотрим 2 случая:
1) g>-3 - точка g расположена правее -3, т.е g=-2;-1;0;1;2... и промежуток [-3;g]
При g=-2 в данном промежутке будет 2 целых решения: -2 и -3.
2) g<-3 - точка g расположена левее -3, т.е g=-4;-5;-6;-7... и промежуток [g;-3].
При g=-4 в данном промежутке будет два целых решения: -4;-3
ответ: g1=-2; g2=-4

Обозначим скорость вела v км/мин, мото w км/мин.

В момент встречи происходит одновременно два события:

1) Они вдвоем проехали весь путь за 28 минут.

S = 28(v + w)

2) Они потратили одинаковое t = 28 мин каждый на свою часть пути.

Кроме того, нам известно, что весь путь S км мотоциклист проехал на 42 мин быстрее, чем велосипедист.

S/v - S/w = 42

S*(1/v - 1/w) = 42

28(v + w)*(w - v)/(vw) = 42

2(w^2 - v^2) = 3wv

2w^2 - 3wv - 2v^2 = 0

Делим все на v^2

2(w/v)^2 - 3(w/v) - 2 = 0

Квадратное уравнение относительно w/v

D = (-3)^2 - 4*2(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2

(w/v)1 = (3 - 5)/4 = -2/4 < 0 - не подходит

(w/v)2 = (3 + 5)/4 = 8/4 = 2

w = 2v

S = 28*(v + w) = 28(v + 2v) = 28*3v = 84v

Значит, велосипедист приехал за 84 минуты, то есть 1 час 24 мин.

Переведем это число в часы

t = 1 24/60 = 1 4/10 = 1,4 часа.

ответ: 1,4 часа.