F(x)=x^(1/3) найти а) f'(x) б)f'(7)

Решение на фотографии

По теореме Виета x1 + x2 = 6/2 = 3; x1*x2 = 3/2 = 1,5.
a) x1*x2^5 + x1^5*x2 = x1*x2*(x1^4 + x2^4) =
= 1,5*(x1^4 + 2x1^2*x2^2 + x2^4 - 2x1^2*x2^2) =
= 1,5*((x1^2 + x2^2)^2 - 2*(1,5)^2) =
= 1,5*((x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2)^2) - 2*2,25) =
= 1,5*( [ (x1+x2)^2 - 2*1,5 ]^2 - 4,5) = 1,5*((3^2 - 3)^2 - 4,5) =
= 1,5*(6^2 - 4,5) = 1,5*(36 - 4,5) = 1,5*31,5 = 47,25
b) x1^4 + x2^4 = x1^4 + 2x1^2*x2^2 + x2^4 - 2x1^2*x2^2 =
(x1^2 + x2^2)^2 - 2*(1,5)^2 = (x1^2 + 2x1*x2 + x2^2 - 2x1*x2)^2) - 2*2,25 =
[ (x1+x2)^2 - 2*1,5 ]^2 - 4,5 = (3^2 - 3)^2 - 4,5 = 36 - 4,5 = 31,5
c)

Найдем производную функции:
y`(x) = 1 - 4/x^2
Приравняем ее нулю:
1-4/x^2 = 0
4/x^2 = 1
x^2 = 4
x1 = 2, x2 = -2
Нашему промежутку соответствует точка х = 2.
Найдем вторую производную и подставим туда нашу точку, чтобы узнать что это за точка:
y``(x) = 8/x^3
y``(2) = 8/8 = 1
Положительное значение второй производной, следовательно, х = 2 - точка минимума.
Минимум равен y(2) = 2 + 4/2 = 4

На данном промежутке одна экстремальная точка, соответствующая минимума, значит график функции с обоих краев точки уходит вверх, чтобы найти максимальное значение сравним значения краев заданного промежутка:
y(1) = 1 + 4/1 = 5
y(3) = 3 + 4/3 = 4 + 1/3
y(1) = 5 больше, значит это точка максимума для данного промежутка.