Найти значение выражения (ху+у2)/8х *4х/х+у при х=6, 5, у=-5, 2

......................................................

1)
2х²  - 32 = 0
2х² = 32
х² = 32 : 2
х² = 16
х₁ = √16
х₁ = 4
х₂ =  - √16
х₂ = - 4

2)
3х² - 15х = 0
3х * х   -  3х * 5 = 0
вынесем общий множитель :
3х*(х - 5) = 0
произведение = 0 , если один из множителей = 0
3х = 0
х₁ = 0
х - 5 =0
х₂ = 5

3) 
2,4х² = 0
х² = 0
х = 0

4)
х²  + 49 = 0
х² = - 49
х²<0 ⇒ уравнение не имеет корней

5)
х² = 0
х = 0

6)
х² = х
х² - х =0
х*(х-1) = 0
х₁ = 0
х-1 = 0
х₂ = 1

7)
х² - 7х - 5 =11 -7х
х² - 7х  - 5 - 11 + 7х = 0
приведем подобные слагаемые:
х²  + (-7х + 7х)  - (5 + 11) = 0
х² - 16 = 0
раскладываем на множители  по формуле сокращенного умножения 
( разность квадратов  а² - b² = (a-b)(a+b) ) :
х²  - 4² =0
(х-4)(х+4) = 0
х-4=0
х₁=4
х+4 = 0
х₂ = -4

Запишем данное уравнение в виде P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0, где P(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x), Q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x). Для того, чтобы данное уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия dP/dy=dQ/dx. В нашем случае dP/dy=1/y-10*y*sin(5*x), dQ/dx=1/y-10*y*sin(5*x), т.е. dP/dy=dQ/dx, поэтому данное уравнения есть уравнение в полных дифференциалах. Но тогда справедлива система уравнений:

P(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x)=du/dx
Q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x)=du/dy,

где du/dx и du/dy - частные производные от искомой функции u(x,y).

Интегрируя первое уравнение системы по x, находим u(x,y)=ln(y)*∫dx-5*y²*∫sin(5*x)*dx=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя теперь это равенство по y, находим du/dy=x/y-2*y*cos(5*x)+f'(y). А так как du/dy=Q(x,y)=x/y-2*y*cos(5*x), то отсюда f'(y)=0 и соответственно f(y)=C1, где С1 - произвольная постоянная. Значит, u(x,y)=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+C1. Но так по условию du=0, то u=const=C2, где C2 - также произвольная постоянная. Отсюда получаем равенство x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C, где C=C2-C1. Это и есть решение данного уравнения. ответ: x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C.