Доказать что к^4-k^2 кратно 12 при всех натуральных к

k^4-k^2 кратно 12 (1)

ш.и.(шаг индукции) проверим верно ли (1), при k=1:

1^4-1^2=0 => 0кратно12(верно)

п.и.(предположение индукции) предположим, что (1) верно, при k=n, т.е.

n^4-n^2 кратно12=> n^2(n^2-1)кратно12

б.и. докажем, что (1) верно, при k=n+1:

(n+1)^4-(n+1)^2=(n+1)^2((n+1)^2-1)=(n+1)^2(n+1+1)(n+1-1)=(n+1)^2(n+2)n=

=(n^2+2n+1)(n^2+2n)=n^4+2n^3+2n^3+4n^2+n^2+2n=n^2(n^2+4n+5)+2n=

=n^2(n^2+4n+6-1)+2n=n^2(n^2-1)+n^2(4n+6)+2n=n2(n^2-1)+4n^3+6n^2+2n=

=n^2(n^2-1)+2n(2n^2+3n+1), т.к. n^2(n^2-1)кратно12 по п.и., то по св-ву делимости №2, необходимо док-ть, что 2n(2n^2+3n+1)кратно12(2)

ш.и. проверим верно ли (2), при n=1:

2(2+3+1)=12=> 12кратно12(верно)

п.и. предположим, что (2) верно, при n=r, т.е.

2r(2r^2+2r+1)кратно12

б.и. докажем, что (2) верно при n=r+1:

2(r+1)(2(r+1)^2+3(r+1)+1)=(2r++1)(2(r+1)+3)+1)=

=(2r++1)(2r+5)+1)=(2r+2)(2r^2+5r+2r+6)=(2r+2)(2r^2+7r+6)=

=4r^3+14r^2+12r+4r^2+14r+12=4r^3+6r^2+8r^2+2r+10r+4r^2+14r+12=

=2r(2r^2+3r+1)+12r^2+24r+12=2r(2r^2+3r+1)+12(r^2+2r+1), т.к.

2r(2r^2+3r+1)кратно12 по п.и., а 12(r^2+2r+1)кратно12, т.к. 12кратно12 и (r^2+2r+1)принадлежит множеству натуральных чисел(т.е. по св-ву делимости№7)=> по св-ву делимости№2 (2r(2r^2+3r+1)+12(r^2+2r+1))кратно12=> 2n(2n^2+3n+1)кратно12 (исходя из метода индукции)=>

=> ( n^2(n^2-1)+2n(2n^2+3n+1))кратно12 по св-ву делимости№2=>

=> k^4-k^2кратно12(исходя из метода индукции) ч.т.д.

 

св-во делимости№2: если a кратно b и c кратно b, то (a+c)кратно b.

св-во делимости№7: если a кратно b и c – любое натуральное число, то ac кратно b.

 

 

а)для того чтобы решить составим систему

х,у-некоторые числа

х*у=171   выразим одну из переменных например х   х*у=171

х+у=28;                                                                                       х=28-у   подставляем значение х в первое уравнение и решаем

(28-у)*у=171

28у-у^2=171

-y^2+28y-171=0   у нас получилось квадратное уравнение решаем его

  у^2-28y+171=0 находим дискриминант по формуле d1

d=(-14)^2-171*1=196-171=25 корень из 25=5

у1=14-5/1=9

у2=14+5=19 подставляем эти значение в систему.     х1=28-9     х2=28-19

                                                                                                    х1=19         х2=9   искомые числа 19 и 9

ответ : 19,9    

б)также составляем систему

х*у=231                                                   х*у=231

х-у=10; выражаем переменную     х=10+у     подставляем в уравнение

(10+у)*у=231

10у+у^2-231=0

y^2+10y-231=0 находим дискрименант

d=)=25+231=256 корень из 256=16

у1=-5-16/1=-21                     х1=10+11               х2=10-21

у2=-5+16=11                         х1=21                       х2=-11            

ответ: 11 и 21 и -11 и -21

в)система

х+у=3             выразим переменную   х=3-у

х^2+y^2=65                                               х^2+y^2=65   подставляем

(3-у)^2+y^2=65

9-6y+y^2+y^2=65

2y^2-6y-56=0   (можно сократить все на 2)

y^2-3y-28=0 находим d

d=(-3)^2-4*(-28)=9+112=121 корень из 121=11

у1=3-11/2=-8/2=-4                       х1=)       х2=3-7

у2=3+11/2=14/2=7                     х1=7                     х2=-4

ответ: 7 и -4

г)система

х-у=11     выражаем переменную х=11+y

х^2-y^2=11                                           x^2-y^2=11

(11+y)^2-y^2=11

121+22y+y^2-y^2=11

22y=11-121

  22y=110

y=5 подставляем     х=11+5

                                      х=16

ответ: 5 и 16

косинус - функция периодическая, поэтому достаточно решить эту систему на одном периоде, а затем к решению прибавить период функции.

сумма косинусов равна 1/2 только в том случае, если один косинус равен 1/2, а второй равен ). на периоде функции таких точки четыре: "плюс пи/2" и "минус пи/2", "плюс пи/3" и "минус пи/3".

подставляем эти значения во второе уравнение и проверяем справедливость системы:

1. х = плюс пи/2, у = "плюс пи/3"- подходит

2. х = "плюс пи/2, у = "минус пи/3" - подходит

3. х = "минус пи/2", у = "плюс пи/3"- подходит

4. х = "минус пи/2", у ="минус пи/3" - подходит

5. х = "плюс пи/3", у =плюс пи/2 - подходит

6. х = "плюс пи/3", у = минус пи/2 - подходит

7. х = "минус пи/3", у = плюс пи/2 - подходит

8. х = "минус пи/3", у = минус пи/2 - подходит

 

таким образом, значения для х1 = +-пи/2 + 2пи*n, у1 = +-пи/3 + 2пи*m, где m и n - целые числа.

х2 = +-пи/3 + 2пи*l, у2 = +-пи/2 + 2пи*k, где k, l - целые числа.