Вычислите значение производной функции в точке

((4x-10)²)²= (16x²-80x+100)(16x²-80x+100)= 256x^4-1280x³+1600x²-1280x³+6400x²-8000x+1600x²-8000x+10000= 256x^4-2560x³+9600x²-16000x+10000

y'(x)= 1024x³-7680x²+19200x-16000= 128(8x³-60x²+150x-125)= 128(2x-5)³
y'(2)= 128*(2*2-5)³= 128*(-1)³= -128

Решение:
1) у = (4х - 10)^ 4
у' = ((4х - 10)^ 4)' = 4•(4х - 10)^3• (4х - 10)' = 16• (4х - 10)^3.
2) Если х0 = 2, то
у' (х0)= у' (2)= 16• (4•2 - 10)^3.= 16•(- 8)= - 128.
ответ: - 128.

Решим задачу на движение по воде

Дано:

t(по течению) = 2 ч

t(против течения)=3 ч

v(собств.)=18,6 км/ч

v(теч.)=1,3 км/ч

Найти

S=? км

Решение

1) Найдём скорость катера против течения реки:

v(против течения)=v(собственная) - v (течения реки)=18,6-1,3=17,3 (км/час)

2) Катер плыл 3 часа против течения со скоростью 17,3 км/час. Найдём расстояние, которое катер проплыл против течения:

S(расстояние)=v(скорость)×t(время)

S(против течения)=17,3×3= 51,9 (км)

3) Найдём скорость катера по течению:

v(по течению)=v(собственная) + v (течения реки)=18,6+1,3=19,9 (км/час)

4) Катер плыл 2 часа против течения со скоростью 19,9 км/час. Найдём расстояние, которое катер проплыл по течению:

S(расстояние)=v(скорость)×t(время)

S(по течению)=2×19,9=39,8 (км)

5) Расстояние за 5 часов равно:

S=S(против течения)+S(по течению)=51,9+39,8=91,7 (км)

ОТВЕТ: катер за 5 часов проплыл расстояние 91,7 километров.

КРАТКО

Решим данную задачу по действиям с пояснениями.

1) 18,6 + 1,3 = 19, 9 километров в час - скорость катера по течению реки, так как собственная скорость катера 18,6 километров в час, а скорость течения реки 1,3 километров в час;

2) 18,6 - 1,3 = 17, 3 километров в час - скорость катера против течению реки, так как собственная скорость катера 18,6 километров в час, а скорость течения реки 1,3 километров в час;

3) 3 * 17,3 = 51,9 километров - расстояние, которое проплыл катер против течения реки;

4) 2 * 19,9 = 39,8 километров - расстояние, которое проплыл катер по течения реки;

5) 51,9 + 39,8 = 91,7 километров - такой путь проплыл катер.

ответ: 91,7 километров.

Для вычисления промежутков знакопостоянства сперва приравняем нашу функцию к нолю и решим полученное квадратное уравнение, то есть

Теперь необходимо нарисовать ось абсцисс (0х) и на ней отобразить полученные точки, то есть мы получим 3 интервала, такие как
1. (- беск; -3)
2. [-3;4] 
3.(4; беск)
Определим знак функции на каждом интервале
 1. (- беск; -3): у(-5)=-(-5)^2+(-5)+12=-25-5+12=-30+12=-18 <0
2. [-3;4]             y(0)=0^2+0+12=0+0+12=12 >0
3.(4; беск)        y(5)=-(5)^2+5+12=-25+17=-8 <0
И так мы видим что на интервале (- беск; -3)и(4; беск) функцию имеет отрицательный знак,а на интервале [-3; 4] соответственно положительный.
ответ: х Є (- беск; -3) и(4; беск) отрицательные значения,   
х Є [-3; 4] положительные значения