80 , но решить с объяснениями. дана функция у = х^2 , х принадлежит [ 1; 3 ]. какова её область определения? какова её область значений? что такое естественная область определения функции? укажите естественную область определения функции: а) у = х^2, б) у = √х, в) у = 1/√х.

1. По условиям у функции у=х^2 область определения [1;3].
    Область значения определяется методом подстановки минимального и максимального значения х из области определения (1 и 3) в уравнение:
у(мин)=1^2    и у(макс)=3^2
у(мин)=1   и   у(макс)=9
Область значения функции [1;9]
2.Область определения функции - это те значения х, при которых функция будет задана (т.е. иметь область значения у). Другими словами, это все допустимые значения х.
а) Все рациональные числа
б) х≥0
в) х>0

0,3¹⁶ = (-0,3)¹⁶

Число, возведённое в положительную степень будет числом положительным, то есть если числа 0,3 и -0,3  возвести в 16 степень они окажутся равны

( -1,9)²¹ < 1,9²¹

Поскольку степень отрицательная, то -1,9  в 21 степени будет числом отрицательным.

-5,6⁴= (-5,6)⁴

В данном случае числа равны, потому что степени равны ( 4 = 4 ) и основания тоже равны ( -5,6 = -5,6 )

-1,4⁶ = (-1,4)⁶

По тому же принципу, что и в примере выше

-64 < -2⁶

Число 2 в 6 степени равняется 64 ( помним правило: число, возведённое в положительную степень будет числом положительным). Другими словами -64 < 64

-0,8¹¹ = (-0,8)¹¹

Опять же, степени равны ( 11 = 11 ) и основания равны ( -0,8 = -0,8 )

y=x^2
y`=2x
уравнение касательной
(у-y0)/(x-x0)=2x1
точку касания найдем так
(x1^2-y0)/(х1-x0)=2x1
(x1^2-y0)=2(х1-x0)x1x1^2-y0=2х1^2-2x0x1х1^2-2x0x1+y0=0х1^2+20x1-69=0
x1=3 или x1=-23
уравнение касательной
(у+69)/(x+10)=6 или (у+69)/(x+10)=-46
у=6(x+10)-69 или у=-46(x+10)-69
у=6x-9 или у=-46x-529 - это ответ

2.
На отрезке [ π ; 1,5π ] задана функция f(x)=2*sin^2x +√3*sin2x. К ее
графику проведена касательная, параллельная прямой y=4x+1. Найдите
координаты точки касания.

f(x)=2*sin^2x +√3*sin2x
f`=2*2*sinx*cosx +2*√3*cos2x=2*(sin2x +√3*cos2x)=4*(sin2x*1/2 +√3/2*cos2x)=
4*(sin(2x+pi/3))=4
sin(2x+pi/3) = 1
(2x+pi/3) = pi/2+2pi*k
2x= pi/6+2pi*k
x= pi/12+pi*k
на участке [ π ; 1,5π ] x= pi/12+pi = 13*pi/12
f(x=13*pi/12)=2*sin^2(13*pi/12) +√3*sin(2*13*pi/12)= 1
ответ (13*pi/12;1)


y=x^2
y`=2x
уравнение касательной
(у-y0)/(x-x0)=2x1
точку касания найдем так
(x1^2-y0)/(х1-x0)=2x1
(x1^2-y0)=2(х1-x0)x1x1^2-y0=2х1^2-2x0x1х1^2-2x0x1+y0=0х1^2+20x1-69=0
x1=3 или x1=-23
уравнение касательной
(у+69)/(x+10)=6 или (у+69)/(x+10)=-46
у=6(x+10)-69 или у=-46(x+10)-69
у=6x-9 или у=-46x-529 - это ответ

2.
На отрезке [ π ; 1,5π ] задана функция f(x)=2*sin^2x +√3*sin2x. К ее
графику проведена касательная, параллельная прямой y=4x+1. Найдите
координаты точки касания.

f(x)=2*sin^2x +√3*sin2x
f`=2*2*sinx*cosx +2*√3*cos2x=2*(sin2x +√3*cos2x)=4*(sin2x*1/2 +√3/2*cos2x)=
4*(sin(2x+pi/3))=4
sin(2x+pi/3) = 1
(2x+pi/3) = pi/2+2pi*k
2x= pi/6+2pi*k
x= pi/12+pi*k
на участке [ π ; 1,5π ] x= pi/12+pi = 13*pi/12
f(x=13*pi/12)=2*sin^2(13*pi/12) +√3*sin(2*13*pi/12)= 1
ответ (13*pi/12;1)