50 . решите систему уравнений {3x-xy+3y=8 {x^+y^2-5x-5y=-12

Решение смотри на фото

Пусть g(x)=x/(x+1)
Функция f  определена на интервале [0;1).
Найдем, при каких х  дробь x/(x+1) принадлежит указанному интервалу.
Решаем неравенство:
0≤х/(х+1) < 1,
которое равносильно системе неравенств:
{x/(x+1) >0;
{x/(x+1)-1<0.

или
{x/(x+1) >0;
{-1/(x+1)<0.

{x+1>0
{x≥0

Решением данного неравенства является х≥0   или   х∈[0;+∞)


Построим график функции g(x)=x/(x+1).
Выделим целую часть
g(x)=(x+1-1)/(x+1);
g(x)=1-(1/(x+1))- гипербола
Cм. рисунок в приложении
Найдем при каких х  
g(x)∈[0;1)
0≤g(x)<1  ⇒  0≤x< + ∞    
или
х∈[0;+∞)
О т в е т. D(f(x/(x+1))=[0;∞)

А)y`=dy/dx
(1+eˣ)ydy=eˣdx - уравнение с разделяющимися переменными
ydy=eˣdx/(1+eˣ)
∫ydy=∫eˣdx/(1+eˣ)
y²/2=ln|eˣ+1| + c - общее решение
Можно вместо с взять lnC  и заменить сумму логарифмов, логарифмом произведения. Так как eˣ>0, то eˣ+1>0, знак модуля можно опустить.
y²/2=lnС(eˣ+1)  - общее решение
при у=1 х=0
1/2=ln2C
2C=√e
C=(√e)/2

y²/2=ln((eˣ+1)· (√e)/2) - частное решение
можно умножить на 2
y²=2ln((eˣ+1)· (√e)/2) 
или
y²=ln((eˣ+1)²·e/4) - частное решение 

b) y`=dy/dx
tgxdy=y㏑ydx - уравнение с разделяющимися переменными
dy/ylny=dx/tgx;
∫dy/ylny=∫dx/tgx;
∫d(lny)/lny=∫d(sinx)/sinx;
ln|lny)=ln|sinx|+lnC;
ln|lny|=ln|Csinx| - общее решение дифференциального уравнения.
 
При y=e x=π/4
ln|lne|=ln|Csin(π/4)|
ln|1|=ln|C√2/2|  
1=C√2/2
C=√2
ln|lny|=ln|(√2)·sinx| - частное решение дифференциального уравнения.