Найти промежутки возрастания и убывания функции f(x)=-2x(в квадрате)+4x-1

-2x^2 + 4x - 1 - квадратичная функция, ее график - это парабола.
Т. к. a = -2 < 0, ветки направлены вниз.
Это значит, что функция возрастает до своего максимального значения, а потом бесконечно убывает.
Свое максимальное значение функция принимает в координате
xв = -b/(2a) = -4/(2*-2) = 1
В этой точке ее значение yв = -2*1 + 4*1 - 1 = 4 - 3 = 1.
ответ: возрастает на промежутке (-бесконечность; 1), убывает на промежутке (1; бесконечность).

Решить неравенство

1) log₃(2^(x/2) +2) - log₉(2ˣ -12) > 1 ;

2) log₁₆ (3ˣ  -5 ) - log₄ (3^(x/2) +5) ≤ -1.

ответ: 1)   (2+log₂³ ;  4 )  ;          2)  x ∈ (log₃⁵;  2 ] .

Объяснение:

1)   ОДЗ : 2ˣ -12 >0 ,   ||  2ˣ >4*3  ;    x > 2+log₂³  ||

Замена:  t =2^(x/2) > 0                  || 2ˣ = t² ||

log₃(t  +2) - log₉(t² -12) >1  ⇔log₃(t  +2) -(1/2)*log₃(t² -12) >1 ⇔

2log₃(t +2) - log₃(t² -12) >2  ⇔log₃(t +2)² > og₃(t² -12) +og₃9 ⇔

log₃(t²+4t+4) > og₃9(t² -12) . || 3>1 ||    t²+4*t+4  > 9(t² -12) ⇔

8t² - 4t -112 < 0  ⇔ 2t²- t -28 < 0 ⇔2(t +7/2)( t - 4) <0  || 2(t +7/2) >0 ||

⇔ t-4 <0 ⇔ t< 4   обратная замена:  2^(x/2)  < 4 ⇔ 2^(x/2) <2² ⇔x/2 <2 ⇔

x < 4, учитывая ОДЗ  → ответ : 2+log₂³ < x < 4 , иначе x∈ (2+log₂³ ;  4 ).

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

2)  ОДЗ : 3ˣ -5 >0 ,    ||  3ˣ >5  ;   x > log₃⁵  ||

Замена:  t =3^(x/2) > 0                  || 3ˣ = t² ||

log₁₆ (t²  -5 ) - log₄ (t +5) ≤ -1   ⇔(1/2)og₄ (t²  -5 ) ≤  log₄ (t +5) - 1  ⇔

log₄ (t²  -5 ) ≤  2log₄ (t +5) - 2 ⇔log₄ (t²  -5 ) ≤  log₄ (t +5)² -  log₄  ¹⁶ ⇔

log₄ (t²  -5 ) ≤  log₄ (t +5)² /16  || 4>1 || ⇔ t²  -5 ≤ (t² +10t +25)/16 ⇔

16t² - 80 ≤ t² +10t +25 ⇔15t² -10t -105 ≤ 0 ⇔3t² -2t -21 ≤ 0 ⇔

3(t +7/3)((t - 3) ≤ 0   || t +7/3 >0 || ⇔ t - 3 ≤ 0 ⇔  t ≤ 3 .обратная замена:  3^(x/2)  ≤ 3 ⇔ ⇔x/2 ≤1 ⇔x ≤ 2 ,  учитывая ОДЗ  → ответ :   log₃⁵ < x ≤ 2 ,  иначе  x∈ (log₃⁵ ;  2] .

1)Согласно графиков координаты точки пересечения (2,8; 3,1).

Решение системы уравнений (2,8; 3,1).    

2)Решение системы уравнений (26,5; -5,5).

Объяснение:

1)Решить систему уравнений графически:

2х+3у=15

3х-4у= -4

Построить графики. Графики линейной функции, прямые линии. Придаём значения х, подставляем в уравнение, вычисляем у, записываем в таблицу. Для построения прямой достаточно двух точек, для точности построения определим три.  

Прежде преобразуем уравнения в более удобный для вычислений вид:  

                  2х+3у=15                                     3х-4у= -4

                  3у=15-2х                                      -4у= -4-3х

                  у=(15-2х)/3                                   4у=4+3х

                                                                       у=(4+3х)/4

                                          Таблицы:

           х    -3     0      3                               х    -4     0      4

           у     7      5      3                              у    -2      1      4

Согласно графиков координаты точки пересечения (2,8; 3,1).

Решение системы уравнений (2,8; 3,1).  

2)Решить систему уравнений:

(х+у+4)/5 + (х-у-4)/7=9

(х+у+4)/5 - (х-у-4)/7=1

Умножить первое и второе уравнения на 35, чтобы избавиться от дробного выражения:

(х+у+4)*7 + (х-у-4)*5=9*35

(х+у+4)*7 - (х-у-4)*5=1*35

Раскрыть скобки:

7х+7у+28+5х-5у-20=315

7х+7у+28-5х+5у+20=35

Привести подобные члены:

12х+2у=307

2х+12у= -13

Умножить второе уравнение на -6, чтобы решить систему методом сложения:

12х+2у=307

-12х-72у=78

Складываем уравнения:

12х-12х+2у-72у=307+78

-70у=385

у=385/-70

у= -5,5

Теперь подставить вычисленное значение у в любое из двух уравнений системы и вычислить х:

2х+12у= -13

2х= -13-12у

2х= -13-12*(-5,5)

2х= -13+66

2х=53

х=26,5

Решение системы уравнений (26,5; -5,5).

Проверка путём подстановки вычисленных значений х и у показала, что решение удовлетворяет уравнениям системы.