Решить тригонометрическое уравнение 10sin^2-5sinxcosx-3cos^2x=1

представим 1 как sin²x+cos²x в соответствии с основным тригонометрическим тождеством

делим уравнение на cos²x


ответ: 

Двузначное число представим в виде его разложения по разрядам: 10а+b,
тогда условие нашей задачи можно расписать так:
(10а+b):(a+b)=6(ост.5), и (10a+b):ab=3(ост.8)
Из первого равенства следует                Из второго равенства следует
 6(a+b)+5=10a+b                                       10a+b=3ab+8
 6a+6b+5=10a+b
 5b=4a-5
 b=0,8a-1
Подставим найденное значение b во второе равенство:
10a+0,8a-1=3a(0,8a-1)+8
10,8a-1=2,4a²-3a+8
2,4a²-13,8a+9=0
a₁=5, a₂=0,75 - не подходит, т.к. а -целое однозначное число
а=5
b=0,8*5-1=3
Искомое число равно 53

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 - разность кубов
Левая часть: 4*(sinx - cosx)(sin^2(x) + sinx*cosx + cos^2(x)) = 4*(sinx - cosx)*(1 + sinx*cosx)
Правая часть: (cosx - sinx)/(sinx*cosx)
4*(sinx - cosx)*(1 + sinx*cosx)*sinx*cosx = cosx - sinx
разделим обе части на (cosx - sinx)
-4*(1 + sinx*cosx)*sinx*cosx = 1
-2*sin(2x)*(1 + sin(2x) / 2) = 1
-2sin(2x) - sin^2(2x) - 1 = 0
sin^2(2x) + 2sin(2x) + 1 = 0
Замена: sin(2x) = t, -1≤t≤1
t^2 + 2t + 1 = 0
D = 4 - 4 = 0
t = -1
Вернемся к замене: sin(2x) = -1
2x = 3π/2 + 2π*k
x = 3π/4 + π*k
ОДЗ: sinx ≠ 0, cosx ≠ 0
x ≠ πk, x ≠ π/2 + πk
ответ: x = 3π/4 + π*k