Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения cos^2x+sinx*cosx=1, принадлежащих промежутку ( - kenni19868

zhandarmova

07.03.2021

Решаем уравнение:
$cos^2x+sinx*cosx=1
\\(1-sin^2x)+sinx*cosx-1=0
\\-sin^2x+sinx*cosx=0
\\sin^2x-sinx*cosx=0
\\sinx(sinx-cosx)=0
\\sinx=0
\\x_1=\pi n,\ n \in Z
\\sinx-cosx=0
\\sinx=cosx
\\tgx=1
\\x_2= \frac{\pi}{4} +\pi n,\ n \in Z$
проводим отбор корней на промежутке $[-\pi;\pi]$
решаем равенство для 1 корня:
$-\pi \leq \pi n \leq \pi
\\-1 \leq n \leq 1$
отсюда нам подойдет n=-1; n=0; n=1 - 3 корня
$n=-1;\ x= -\pi
\\n=0;\ x=0;
\\n=1;\ x=\pi$
решим еще одно неравенство для 2 корня:
$-\pi \leq \frac{\pi}{4} +\pi n \leq \pi
\\-1 \leq \frac{1}{4}+n \leq 1 
\\-4 \leq 4n+1 \leq 4
\\-5 \leq 4n \leq 3
\\-1,25 \leq n \leq 0,75$
отсюда нам подойдет n=-1; n=0 - 2 корня
$n=-1;\ x=\frac{\pi}{4} -\pi= -\frac{3\pi}{4} 
\\n=0;\ x=\frac{\pi}{4}$
ищем среднее арифметическое:
$\frac{-\pi+0+\pi-\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{4}}{5} = \frac{- \frac{\pi}{2} }{5} =- \frac{\pi}{10}$
ответ: $- \frac{\pi}{10}$

n-896458

07.03.2021

Повозившись немного с выделением полного куба, можно заметить, что здесь выделяется множитель х+у+8, поэтому уравнение можно переписать в виде (x+y+8)((2x-y-8)²+3(y-8)²)=0.
Проверяется это раскрытием скобок и делением всего уравнения на 4.
Отсюда следует, что либо у=8, х=8, либо х+у=-8. Т.к. х, у - натуральные, то второе невозможно, поэтому наибольшее значение х+у=8+8=16.

По неравенству о средних при любых х,у≥0 получим
(x³+y³+8³)/3≥∛(8³x³y³)=8xy. Равенство в неравенстве о средних достигается только при х=у=8. Значит x+у=8+8=16.

kengyra

07.03.2021

Повозившись немного с выделением полного куба, можно заметить, что здесь выделяется множитель х+у+8, поэтому уравнение можно переписать в виде (x+y+8)((2x-y-8)²+3(y-8)²)=0.
Проверяется это раскрытием скобок и делением всего уравнения на 4.
Отсюда следует, что либо у=8, х=8, либо х+у=-8. Т.к. х, у - натуральные, то второе невозможно, поэтому наибольшее значение х+у=8+8=16.

По неравенству о средних при любых х,у≥0 получим
(x³+y³+8³)/3≥∛(8³x³y³)=8xy. Равенство в неравенстве о средних достигается только при х=у=8. Значит x+у=8+8=16.

Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения cos^2x+sinx*cosx=1, принадлежащих промежутку (-пи до пи) включительно

Ответы

Ответить на вопрос

Ваше имя (никнейм)*

Email*

Комментарий*