X^2+y^2-4x+6y+19 - найдите наименьшее значение выражения

Искать будем так - найдем частные производные функции, приравняем их к нулю и составим систему, найдем решение этой системы - стационарную точку, далее составим гессиан и по нему определим характер этой точки: если гессиан положительно определен, то стационарная точка есть точка минимума функции (локального или глобального), а если гессиан отрицательно определён, то стационарная точка есть точка максимума функции (локального или глобального). Так вот, если эта точка оказалась минимумом, то просто подставим ее в функцию, найдем ее значение и это будет ответ.





Гессиан состоит из констант, не зависящих от аргументов, поэтому данная функция имеет один глобальный экстремум. А так как гессиан положительно определен (оба главных минора матрицы положительные - 2 и 2*2-0*0=4), то полученная стационарная точка есть точка глобального минимума.

'

ответ - наименьшее значение функции = 6

1) Приводим систему  к виду У=0,5Х-0,5 и У=Х-4.

Это 2 прямые, первая с наклоном У:Х=0,5:1 сдвинута по оси У на 0,5 вниз (при Х=0 У=-0,5), а вторая с  наклоном У:Х=1:1 сдвинута по оси У на 4 вниз (при Х=0 У=-4).

Точка пересечения имеет координаты (7;3), значит, корнем является Х=7.

2) Приводим систему  к виду У=-1/3Х+2 и У=-1/3Х+3.

Это 2 прямые, первая с наклоном У:Х=1/3:1 сдвинута по оси У на 2 вверх (при Х=0 У=2), а вторая с  наклоном У:Х=1/3:1 сдвинута по оси У на 3 вверх (при Х=0 У=3).

Имеем 2 параллельные прямые (наклон ведь одинаков), которые не пересекаются -> у  системы нет решения.

1. {3х-у=2 => y=3x-2
    {x+2y=10 => y=(10-x)/2 => -0.5x+5
     {f(x)=3x-2
     {f(x)=-0.5x+5
     x=2
     y=4
     Проверка: {3*2-4=2
                        {2+2*4=10
Графическое решение - во вложении
2. {x-3y=6 => x=6+3y
    {2y-5x=-4
     2y-5(6+3y)=-4
     2y-30-15y=-4
    -13y=26
     y=-2
    x=6+3*-2
    x=0
3. {3x-2y=4 |*2
    {6x+4y=16 |*1
     {6x-4y=8
     {6x+4y=16
      12x=24
      x=2
      3*2-2y=4
     -2y=-2
      y=1
      6*2+4y=16
      12+4y=16
      4y=4
      y=1
       Координаты точки пересечения графиков (2;1)
4. {4x-6y=2   |*1
     {3y-2x=1 => -2x+3y=1  |*2
     {4x-6y=2
     {-4x+6y=2
     4x-4x-6y+6y=2+2
     0=4 - равенство неверно
     Cистема не имеет решений