1) log по основанию 1/3*(2х-5)=-3 2) log по основанию 3 *(х^2-8х)=2 ☹️

3*(x^2-8x)=2
x^2-8x=9
x^2-8x-9=0
8^2-4*1*(-9)=64+36=100
x1=8+10/2=9
x2=8-10/2=-1

Формула:

sinx*cosx*2

Синус двойного угла: sin2x =

tgx/(1+tg^2x)*2

Синус двойного угла (через тангенс): sin2x =

cos^2x - sin^2x

Косинус двойного угла: cos2x =

(1-tg^2x)/(1+tg^2x)

Косинус двойного угла (через тангенс): cos2x =

tgx/(1-tg^2x)*2

Тангенс двойного угла: tg2x =

sinx*cosy + cosx*siny

Синус суммы: sin(x+y)

sinx*cosy - cosx*siny

Синус разности: sin(x-y)

cosx*cosy - sinx*siny

Косинус суммы: cos(x+y)

cosx*cosy + sinx*siny

Косинус разности: cos(x-y)

(tgx+tgy)/(1-tgx*tgy)

Тангенс суммы: tg(x+y)

(tgx-tgy)/(1+tgx*tgy)

Тангенс разности: tg(x-y)

sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)*2

Сумма синусов: sinx+siny =

cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)*2

Разность синусов: sinx-siny =

cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)*2

Сумма косинусов: cosx+cosy =

sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)*(-2)

Разность косинусов: cosx-cosy =

sin(x+y)/(cosx*cosy)

Сумма тангенсов: tgx+tgy =

sin(x-y)/(cosx*cosy)

Разность тангенсов: tgx-tgy =

(cos(x-y)-cos(x+y))/2

Произведение синусов: sinx*siny =

(sin(x-y)+sin(x+y))/2

Произведение синуса и косинуса: sinx*cosy =

(cos(x-y)+cos(x+y))/2

Произведение косинусов: cosx*cosy =

(1-cos2x)/2

Формула понижения степени для синуса: sin^2x =

(1+cos2x)/2

Формула понижения степени для косинуса: cos^2x =

(1-cos2x)/(1+cos2x)

Формула понижения степени для тангенса: tg^2x =

sin2x/(1+cos2x) == (1-cos2x)/sin2x

Формулы половинного угла для тангенса: tgx =

arcsina*(-1)^n + pi*n, n~Z

sinx=a => x =

+/-arccosa + 2pi*n, n~Z

cosx=a => x =

arctga + pi*n, n~Z

Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Подставляем в формулу (1) значения: K=10K=10, N−K=8N−K=8, итого N=10+8=18N=10+8=18, выбираем n=5n=5 шаров, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3n−k=5−2=3 черных. Получаем:

P=C210⋅C38C518=45⋅568568=517=0.294.P=C102⋅C83C185=45⋅568568=517=0.294.

Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?

Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.

Подставляем в формулу (1) значения: K=5K=5 (белых шаров), N−K=5N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2n=2 шара, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0n−k=2−2=0 красных. Получаем:

P=C25⋅C05C210=10⋅145=29=0.222.P=C52⋅C50C102=10⋅145=29=0.222.

Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие

A=A= (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).

Представим это событие как сумму двух несовместных событий: A=A1+A2A=A1+A2, где

A1=A1= (Выбраны 2 белых шара),