Мать может прополоть картофель за 3 часа , а дочь - за 7 ч. сколько времени они будут пропалывать картофель, работая одновременно? ответ вырази в минутах.

Мать за 1 час делает 1/3 работы. Дочь за 1 час делает 1/7 работы. Вместе работая, они за 1 час делают 1/3 + 1/7 = 10/21 работы
вся работа = 21/10 = 2,1 часа = 2 часа + 0,1 часа = 120 минут + 6 минут = =126 минут.

1 - объем всей работы

х - производительность первого (т.е. объем работы за 1 час)у - производительность второго 

3х - объем работы, которую сделал первый за 3 часа
(3-1)у = 2у - объем работы, которую сделал второй за 2 часа

1 - 0,45 = 0,55 - объем работы, которую сделали первый и второй вместе.

Поучаем первое уравнение:
3х + 2у = 0,55

В условии сказано, что по окончанию работы выяснилось, что каждый выполнил половину всего задания, т.е. 1/2 или 0,5.

0,5 /х - всё время, затраченное первым рабочим на выполнение задания
0,5 /у - всё время, затраченное вторым рабочим на выполнение задания

По условию:
0,5 /х >0,5/y на 1 час

Поучаем второе уравнение:
0,5 /х - 0,5/y = 1

Решаем систему:
{3х + 2у = 0,55
{0,5 /х - 0,5/y = 1

ОДЗ: x>0;  y>0

Второе уравнение умножим на 2xy.
{3х + 2у = 0,55
{2xy·0,5 /х - 2xy·0,5/y = 1·2xy

{3х + 2у = 0,55
{y - x = 2xy

Из второго уравнения выразим y.
y-2xy = x
y(1-2x) = x
y = x/(1-2x)

Подставим в первое 
3x + 2x/(1-2x) = 0,55 

 При  x≠0,5

3x·(1-2x) +2x = 0,55·(1-2x) 
3x-6x²+2x-0,55+1,1x=0
-6x² +6,1x - 0,55 = 0
6x² - 6,1x + 0,55 = 0
D = b²-4ac
D = 37,21 - 4·6·0,55 = 24,01
√D =√24,01 = 4,9
x₁ = (6,1 - 4,9)/12 = 1,2/12=0,1
x₁= 0,1
x₂ = (6,1 + 4,9)/12 = 11/12=11/12
x₂ =11/12

При x₁ = 0,1    находим у₁
y₁ = 0,1/(1-2·0,1) = 0,1/0,8 = 1/8
Получаем х₁ = 0,1  и  у₁ = 1/8 = 0,125

При x₂ = 11/12    находим у₂
y₂ = 11/12  : (1-2·11/12) = 11/12 : (-10/12) = 11/12 · (- 12/10) = - 11/10 = - 1,1
у₂ - 1,1 - отрицательное противоречит ОДЗ.

Итак мы нашли 
0,1 - производительность первого (т.е. объем работы за 1 час)0,125 - производительность второго.

И, наконец, 1 - объем всей работы делим на производительность каждого и получаем искомое время каждого.

1 : 0,1 = 10 ч  - за это время первый,работая отдельно, может выполнить все задание.
1 : 0,125 = 8 ч  - за это время второй,работая отдельно, может выполнить все задание.

ответ: 10ч; 8ч

Задача на производительность
Пусть х производительность первого рабочего, а у-второго рабочего
Поскольку после 3 часов работы первого рабочего был сделан объем работ 3х, второй сделал
(3-1)*у =2у.
Всего было сделано 1-0,45 =0,55 объема работ
Или запишем первое уравнение
3x+2y =0,55
Выразим из уравнения y
y = (0,55-3x)/2
По окончанию работы кажды сделал ровно половину объема работ
Время потраченное первым рабочим составило
1/(2x)
Время потраченное вторым рабочим составило
1/(2y)
Так как второй потратил на 1 час меньше запишем второе уравнение
1/(2x) - 1/(2y) =1
Поскольку х и у одновременно не равняются нулю то умножим обе части уравнения на 4х*у
2у-2х=4ху
Подставим выражение для у полученное выше у=(0,55-3х)/2
0,55-3x-2x =2x(0,55-3x)
0,55-5x =1,1x-6x^2
6x^2-6,1x+0,55 =0
D =6,1^2-4*6*0,55 = 24,01
x1=(6,1-4,9)/12 = 0,1
x2=(6,1+4,9)/12=11/12
Найдем у
y1 =(0,55-3*0,1)/2=0,25/2=0,125
y2=(0,55-3*(11/12))/2=(0,55-11/4)/2 =-1,1 ( Производительность не может быть отрицательной)
Поэтому х2=11/12 также не удолетворяет решению
Найдем время потраченное каждым рабочим на выполнение работы
t1 =1/x1=1/0,1 =10 часов
t2=1/y1 =1/0,125 =8 часов