2.преобразуйте в многочлен: а)(а-3)(а+3) б)(2у+5)(2у-5) 3. выражение: (6x-x^2)^2-x^2 (x-1)(x+1)+6x (3+2x^2) 3.преобразовать многочлен стандартного вида: (x-4)(x^2+4x+16)

2. (а-3)(а+3) = а^2 - 3^2 = а^2 - 9;
(2у+5)(2у-5) = (2у)^2 - 5^2 = 4y^2 - 25;
3. (6x-x^2)^2-x^2(x-1)(x+1)+6x(3+2x^2) = 36x^2 - x^4 - x^4 + x^2 + 18x + 12x^3 = 37x^2 - 2x^4 + 18x + 12x^3
3. (x-4)(x^2 + 4x + 16) = x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 16x + 16x - 64 = x^3 - 64 = (x-64)(x^2 - 4x + 16)

a) (2x - y)(x + 2y) = -3

1) 2x - y = 3 => y = 2x - 3

x + 2y = -1 => x + 2(2x - 3) = - 1 =>

x + 4x - 6 = -1 => 5x = 5 => x = 1

y = 2x - 3 = 2 - 3 = -1.

Первое решение (x, y) = (1, -1)

2) 2x - y = - 3 => y = 2x + 3

x + 2y = 1 => x +2(2x + 3) = 1 =>

x + 4x + 6 = 1 => 5x = - 5 => x = -1

y = 2x + 3 = -2 + 3 = 1.

Второе решение (x, y) = (-1, 1)

3) 2x - y = 1 => y = 2x - 1

x + 2y = -3 => x + 2(2x - 1) = -3 =>

x + 4x - 2 = -3 => 5x = -1 => x = - 1/5 - нецелое.

4) 2x - y = -1 => y = 2x + 1

x + 2y = 3 => x + 2(2x + 1) = 3 =>

x + 4x + 2 = 3 => 5x = 1 => x = 1/5 - нецелое.

Всего два решения (x, y) = (1, -1) и (x, y) = (-1, 1)

б) 2x² + xy - y² = -3

x² - y² + x² + xy = -3

(x - y)(x + y) + x(x + y) = -3

(x + y)(x - y + x) = -3

(x + y)(2x - y) = -3

1) x + y = 3 => y = 3 - x

2x - y = -1 => 2x - 3 + x = -1 =>

3x - 3 = -1 => 3x = 2 => x = 2/3 - нецелое

2) x + y = 1 => y = 1 - x

2x - y = -3 => 2x - 1 + x = -3 =>

3x -1 = -3 => 3x = -2 => x = -2/3 - нецелое

3) x + y = -3 => y = -3 - x

2x - y = 1 => 2x +3 + x = 1 =>

3x + 3 = 1 = 3x = -2 => x = -2/3 - нецелое

4) x + y = -1 = y = -1 - x

2x - y = 3 => 2x +1 + x = 3 =>

3x + 1 = 3 => 3x = 2 => x = 2/3 - нецелое.

Второе уравнение не имеет решений в целых числах.

Написать уравнение плоскости проходящей через точки P(1,1,-2) и Q(3,-2,-1) и перпендикулярной плоскости 4x-2y-z-3=0.

Если дано уравнение плоскости, то известна нормаль N к этой плоскости: N = (4; -2; -1).

Для искомой плоскости нормаль N будет параллельным вектором n.

Точки P(1,1,-2) и Q(3,-2,-1) .

Вектор PQ = ((3-1=2; -2-1=-3; -1-(-2)=1) = (2; -3; 1).

Составим уравнение плоскости П как плоскости, проходящей через точку  Р(1,1,-2) параллельно векторам  →PQ (2; −3; 1) и →n = (4; -2; -1).

x - 1           y - 1             z + 2              x - 1           y - 1

  2              -3                 1                   2               -3

  4               -2               -1                   4               -2    

∆ =  a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

 =   a11•a22•a33 + a12•a23•a31 + a13•a21•a32 - a13•a22•a31 - a11•a23•a32 - a12•a21•a33

∆ = (x - 1)*(-3)*(-1) + (y - 1)*1*4 + (z + 2)*2*(-2) - (z + 2)*(-3)*4 - (x - 1)*1*(-2) - (y - 1)*2*(-1) = 4x - 4 + 4y - 4 - 4z - 8 + 12z + 24 + 2x - 2 + 2y - 2 = 6x + 6y + 8z + 4 = 0.

Или, сократив на 2, получаем искомое уравнение плоскости:

3x + 3y + 4z + 2 = 0.