5.13-суретте көрсетілгендей, торкөз қағазға аов бұрышыpq сәулесін салыңдар. рq сәулесінен аов бұрышына тен qprбұрышын салыңдар.​

1) Пусть задача поставлена для функции y=ctg(2x)+sin(x).
ctg(2x) имеет множество значений (-inf;+inf). ctg(2x)+sin(x) тоже имеет множество значений (-inf;+inf). Поэтому прямая y=3-p имеет хотя бы одну общую точку с y=ctg(2x)+sin(x) при любых значениях p.
ответ: при любых значениях p.
2) Пусть задача поставлена для функции y=ctg²(x)+sin(x).
y=cos²(x)/sin²(x)+sin(x)=(1-sin²(x))/sin²(x)+sin(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1
Требуется определить множество значений этой функции. Пусть sin(x) = t. Тогда y(x)=f(t)=1/t²+t-1. Наибольшее и наименьшее значения будем искать на отрезке t∈[-1;1], так как t=sin(x).
f'(t)=-2/t³+1=(t³-2)/t³.
Нули числителя: t=∛2
Нули знаменателя: t=0.
Расположим эти точки на числовой прямой.
f'>0             f'>0          f'<0          f'<0          f'>0
-1 0 1  ∛2 >
f   ↑                  ↑              ↓              ↓                ↑
На отрезке [-1;1] функция возрастает с -1 до 0-. Затем с 0+ до 1 убывает. Это значит, что наименьшее значение на отрезке [-1;1] достигается на одном из его концов. То есть min(f(-1),f(1))=min(1/(-1)²-1-1, 1/1²+1-1)=-1.
При стремлении t к 0- и к 0+ функция f(t) принимает сколь угодно большие значения. Поэтому множество значений функции f(t) и y(x) равно [-1;+inf).
y=3-p - горизонтальная прямая. Она имеет общую точку с графиком функции y(x)=1/sin²(x)+sin(x)-1, если пересекает множество значений y(x). Таким образом, 3-p>=-1, p<=4.
ответ: при p<=4.

1) Аналитический.

2) Рекуррентній.

3) Это арифметическая прогрессия с разностью –5. Продолжается так: 6,7; 6,2; 5,7; 5,2; 4,7; 4,2; 3,7; 3,2 ...

4) Первое число кратное трём, это тройка. Поэтому подходят либо второй, либо третий вариант. Четвёртый член должен быть равен 3*4=12, поэтоу правильный ответ — второй: 3; 12; 33.

5)

6)

7) Это арифметическая прогрессия.

8)

ответ: нет, не является, потому что должно быть натуральным числом.

9)

Наибольшее натуральное , удовлетворяющее этому неравенству, — это 16.

ответ: 16 членов.

10)

Второе решение не подходит, поскольку должно быть натуральным числом.

ответ: