Найдите период функции f(x)= cos^2 3x

Для начала упростим функцию f(x): понизим степень со 2 до 1.


Период данной функции равен периоду функции 

Период функции g(x) находится следующим образом: 

F(x)=f(x+T)=f(x-T)    x∈D(f); x+T∈D(f); x-T∈D(f)
cos²0=cos²π
3x∈[0;π]
1)3x=0⇒x=0
2)3(x+T)=π⇒x+T=π/3
T=π/3-0=π/3

Решение верное с мелкими замечаниями.
1) sin²x≠0, Здесь должна быть проверка, а не утверждение. Нужно проверить, что  x=πn не является решением этого уравнения, и только после этого делить на sin²x.
2) для уравнения ctgx =-1 решением должен быть угол из интервала
[0; π], поэтому решением будет x=3π/4+πk
3)  x=3π/4+πk; x=arcctg1/3+πk - это независимые корни, поэтому нельзя использовать одно целое число k на двоих.
x=3π/4+πk; x=arcctg1/3+πm   ,  k,m ∈ Z

Вторая часть задания.
Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[-9π/2 ; -3π] ⇔ [-4,5π ; -3π]
В полученные корни 
x=3π/4+πk; x=arcctg1/3+πm   ,  k,m ∈ Z
нужно последовательно подставлять значения целых чисел, и полученные х проверять на попадание в интервал
1) x=3π/4+πk= 0,75π + πk
k=-6  ⇒   x=0,75π - 6π = -5,25π  < -4,5π   ⇒  x∉[-4,5π ; -3π]
k=-5  ⇒   x=0,75π - 5π = -4,25π ⇒   -4,5π<-4,25π<-3π
                                         корень подходит
k=-4  ⇒   x=0,75π - 4π = -3,25π ⇒   -4,5π<-3,25π<-3π
                                         корень подходит
k=-3  ⇒   x=0,75π - 3π = -2,25π  > -3π   ⇒  x∉[-4,5π ; -3π]

2) x=arcctg1/3+πm
Сначала нужно понять, как выглядит  угол  α=arcctg1/3
ctgα = cosα/sinα = 1/3
(0; π/4)  ⇒  cos α>sin α  ⇒  cosα/sinα > 1 ⇒ угол arcctg1/3 
не в этом интервале
(π/4; π/2)  ⇒ cosα<sinα   ⇒  0 < cosα/sinα < 1
Следовательно
π/4 < arcctg 1/3 < π/2  ⇔    0,25π < arcctg 1/3 < 0,5π

m=-5; ⇒ x=arcctg1/3-5π       0,25π < arcctg 1/3 < 0,5π
                                        0,25π-5π < arcctg 1/3-5π < 0,5π-5π
                                             -4,75π < arcctg 1/3-5π < -4,5π
                                                x < -4,5π ⇒  x∉[-4,5π; -3π]
m=-4; ⇒ x=arcctg1/3-4π       0,25π < arcctg 1/3 < 0,5π
                                        0,25π-4π < arcctg 1/3-4π < 0,5π-4π
                                             -3,75π < arcctg 1/3-4π < -3,5π
                                                корень подходит
m=-3; ⇒ x=arcctg1/3-3π       0,25π < arcctg 1/3 < 0,5π
                                        0,25π-3π < arcctg 1/3-3π < 0,5π-3π
                                             -2,75π < arcctg 1/3-3π < -2,5π
                                                x > -3π ⇒  x∉[-4,5π; -3π]

Итак, отрезку принадлежат следующие корни:
x₁= -4,25π;  x₂= -3,25π;  x₃=arcctg1/3-4π

task/27244703

Решить систему уравнений
{sin(x) = cos(y) ,           
{sin²(x) +cos²(y) =1/2 .

{sin(x) = cos(y) ,               {sin(x) = cos(y)  ,
{sin²(x) +cos²(y) =1/2 .⇔ { ( sin(x) - cos(y) )²+ 2sin(x)*cos(y)=1/2 .⇔

{ sin(x) =cos(y) ,              { sin(x) = cos(y)  ,
{ sin(x)*cos(y)=1/4 . ⇔    { sin(x)*sin(x)  =1/4 .

sin²(x) =1/4 ⇔ sin(x) =± 1/2 .
следовательно :
а)
{ sin(x) = 1/2 ,      { x = (-1)ⁿπ/6 +πn , 
{ cos(y)  = 1/2.     { y =± π/3 +2πn ,   n∈Z .
          или
б)
{ sin(x) = -1/2 ,     { x = (-1)^(k+1)*π/6 +πk , 
{ cos(y) = -1/2.     { y =± 2π/3 +2πk ,   k ∈Z .