Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 4, 5, 6, 7,

Если всё правильно посчитал то можно будет составить 104 чисел

Объяснение:

2!·4!·6!·...·(2n)!≥((n+1)!) ⁿ

Неравенство либо не должно быть строгим, либо нужно доказывать при n≥2. Так как при n=1 оно превращается в равенство.

Введём следующее обозначение. A(n)=2!·4!·6!·...·(2x)!;  B(n)=((n+1)!)ⁿ

Докажем данное неравенство с метода математической индукции.

База верна.

A(1)=2!, B(1)=((1+1)!)¹=2!, A(1)=B(1)⇒A(1)=B(1). То есть, при n=1 имеем равенство.

A(2)=2!4!=2!·4·4!>2!·3·4!=3!·4!>3!·3!=(3!)²=B(2)⇒A(2)>B(2)

Предположим, что неравенство выполняется при n, то есть A(n)>B(n)

Докажем, что неравенство выполняется при n+1, то есть A(n+1)>B(n+1)

A(n+1)=2!·4!·6!·...·2n!·(2(n+1))!=A(n)·(2(n+1))!>B(n)·(2(n+1))!=((n+1)!)ⁿ·(2(n+1))!>((n+1)!)ⁿ·(n+1)!=((n+1)!)ⁿ⁺¹=B(n+1)⇒A(n+1)>B(n+1).

Ч.т.д

В пятизначном числе пять мест.

На первое место выбираем любую из пяти цифр занять первое место. Тогда  на второе место можно выбрать любую из оставшихся цифр на третье - любую из трех, на четвертое - любую из двух, на пятое место останется одна оставшаяся цифра

По правилу умножения  5*4*3*2*1=120 пятизначных чисел можно написать с цифр 1,2,3,4,5  без повторения.

а) На первом месте цифра 5, значит оставшиеся 4 места можно занять:

4*3*2*1=24 cпособами, т. е 24 пятизначных числа начинается с цифры 5

б)

Начинающихся с цифры 3 столько же, сколько начинающихся с цифры 5

А именно 24 числа

120-24=96 не начинаются с цифры 3

в) 53 _ _ _

три места можно занять

6 чисел начинается с 53

г)

Начинаются с 543 _ _  два числа

54321 и 54312

120- 2=118 чисел