Докажите что n(n+1)(n+2) делится на 6 при любом целом n

одно из трех соседних натуральных чисел делится на 3, из них же одно или два числа делятся на 2.  обозначим число, делящееся на 3, как 3m, число, делящееся на 2 - 2n. тогда их произведение = 3m*2n=6mn. умножим полученное произведение на третье число - результат не поменяется, произведение будет делиться на 6. 

Сделаем преобразование  a = 67^7 = 67*67^6=67*(66+1)^6= 67*((66+1)^2)^3=67*(66^2+2*66+1)^3=67(66*(66+2) +1)^3= 67*(66*68+1)^3= 67*((66*68)^3 + 3*(66*68)^2 +3 *(66*68) + 1)= 66*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2   +3*68) + 67= 3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2   +3*68)  + 67 a=a1+a2, a1=3*22*67*(66^2*68^3 + 3*66*68^2   +3*68)  - кратно 3 a2=67 b=32^8=(33-1)^8=((33-1)^2)^4=(33^2-2*33+1)^4=(33(33-2)+1)^4= (33*31+1)^4=((33*31+1)^2)^2=((33*31)^2+2*33*31+1)^2= ((33*31)(33*31+2)+1)^2=(33*31)^2*(33*31+2)^2+2*33*31*(33*31+2)+1= 3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2)+1 b=b1+b2 b1=3*11*31*(33*31+2)*(33*31*(33*31+2)+2) - кратно 3 b2=1 c=67^7-32^8 = a-b=a1+a2-b1-b2=(a1-b1)+(a2-b2) a1-b1=кратно 3, a2-b2=67-1=66=3*22 - кратно 3 т.о. исходное выражение кратно 3 можно решить менее громоздко, если сделать замену переменных м=66*68, и n=33*31, которые кратны трем, но так нагляднее.

В решении.

Объяснение:

1)3 робітника виготовили 67 деталей 1-й робітник виготовив на 7 деталей більше ,ніж 2-й, а 3-й робітник у 2 рази більше, ніж 2-й.Скільки деталей виготови кожний робітник?

х - изготовил деталей 2 работник.

х+7 - изготовил деталей 1 работник.

2*х - изготовил деталей 3 работник.

По условию задачи уравнение:

(х+7)+х+2х=67

4х=67-7

4х=60

х=15 (дет.) - изготовил деталей 2 работник.

15+7=22 (дет.) - изготовил деталей 1 работник.

2*15=30 (дет.) - изготовил деталей 3 работник.

Проверка:

15+22+30=67 (дет.), верно.

2)Периметр прямокутника дорівнює 240 см. Знайти ти сторони прямокутника , якщо 1 з них на 40 % більше ,ніж друга?

х - ширина прямоугольника.

х+0,4х=1,4х - длина  ​прямоугольника.

Р=2(а+в), а - длина, в - ширина.

По условию задачи уравнение:

240=2(х+1,4х)

Разделить уравнение на 2 для упрощения:

2,4х=120

х=120/2,4

х=50 (см) - ширина прямоугольника.

1,4*50=70 (см) - длина  ​прямоугольника.

Проверка:

2(50+70)=2*120=240 (см), верно.