Вычислить без таблицы (tg 17 градусов+tg 43 градусов)/(1 - tg 17 градусов * tg 43 градусов)

Это формула  тангенс суммы

tg(α+β) = (tg(α) + tg(β))/(1 - tg(α)·tg(β))

tg(43+17)=tg60= √3

Объяснение:

7tg^2 x + 3tg x + 2cos^2 x - 7cos x + 1 = 0

Можно применить универсальную тригонометрическую подстановку.

t = tg(x/2), тогда , . Подставляем:

Приводим к общему знаменателю (1-t^2)^2*(1+t^2)^2:

Избавляемся от дробей:

28t^2(1+2t^2+t^4) + 6(t-t^3)(1+2t^2+t^4) + 2(1-2t^2+t^4)(1-2t^2+t^4) -

- 7(1+t^2)(1-3t^2+3t^4-t^6) + (1-2t^2+t^4)(1+2t^2+t^4) = 0

Раскрываем скобки:

28t^2 + 56t^4 + 28t^6 + 6t - 6t^3 + 12t^3 - 12t^5 + 6t^5 - 6t^7 + 2 - 4t^2 + 2t^4 -

- 4t^2 + 8t^4 - 4t^6 + 2t^4 - 4t^6 + 2t^8 - 7 - 7t^2 + 21t^2 + 21t^4 - 21t^4 - 21t^6

+ 7t^6 + 7t^8 + 1 - 2t^2 + t^4 + 2t^2 - 4t^4 + 2t^6 + t^4 - 2t^6 + t^8 = 0

Приводим подобные:

t^8*(2+7+1) - 6t^7 + t^6*(28-4-4-21+7+2-2) - 6t^5 + t^4*(56+2+8+2+21-21+1-4+1)

+ 6t^3 + t^2*(28-4-4-7+21-2+2) + 6t + (2-7+1) = 0

10t^8 - 6t^7 + 6t^6 - 6t^5 + 66t^4 + 6t^3 + 34t^2 + 6t - 4 = 0

Делим все на 2

5t^8 - 3t^7 + 3t^6 - 3t^5 + 33t^4 + 3t^3 + 17t^2 + 3t - 2 = 0

Это уравнение имеет 2 иррациональных корня:

t1 = tg(x/2) ≈ -0,387

x/2 ≈ -arctg(0,387) + П*k

x1 ≈ -2arctg(0,387) + 2П*k, k ∈ Z

t2 = tg(x/2) ≈ 0,25

x/2 ≈ arctg(0,25) + П*k

x2 ≈ 2arctg(0,25) + 2П*k, k ∈ Z

В общем, у меня такое чувство, что в задании опечатка.

Слишком сложно получилось.

Ну, или это задание из математической спецшколы.

Разложить на множители значит преобразовать выражение таким образом чтобы у нас получилось умножение выражений.Если это многочлен то чаще всего нужно вынести общий множитель за скобку или применить формулы сокращенного выражения.Если квадратный трехчлен то найти корни и разложить по формуле.
Упростить выражение это значит прибавить или отнять все что можно умножить, сократить, раскрыть скобки, вынести за скобку... Все зависит от выражения которое вам нужно упростить.В общем совершить все возможные действия так чтобы выражение стало более простым 
Преобразовать в многочлен значит раскрыть скобки, разложить по формулам сокращенного умножения и привести подобные слагаемые так чтобы получилась сумма или разность одночленов.