Сравните числа 7 в 80 степени и 4 в 120 степени

Немного другое решение предлагаю. преобразуем:   4¹²⁰=2²*¹²⁰=2²⁴⁰. с  другой стороны 7⁸⁰< 8⁸⁰⇒7⁸⁰< 2³*⁸⁰ ⇒7⁸⁰< 2²⁴⁰. таким образом 7⁸⁰< 4¹²⁰.

7⁸⁰=(7²)⁴⁰=49⁴⁰ 4¹²⁰=(4³)⁴⁰=64⁴⁰ 49⁴⁰< 64⁴⁰ 7⁸⁰< 4¹²⁰

Докажите, что функция f (x) на множестве действительных чисел возрастает а) f(x)=x³ +x .  f '(x)=(x³+x)' =(x³)  '  +x ' =3x² +1  ≥ 1   (* * *    ≥  0 * * *)  ⇒  функция f (x) на множестве действительных чисел возрастает   .========= или      f(x₂) -  f(x₁)=x₂³+x₂ -(x₁³+x₁) =(x₂³  -x₁³)  +(x₂ -x₁) = (x₂  -x₁)(x₂²  -x₂*x₁+x₁²)    +(x₂ -x₁) =(x₂  -x₁)(x₂²  -x₂*x₁+x₁ ² +1) =(x₂  -x₁)( (x₂  -x₁/2)²+3x₁²/4 +1)  > 0   , если   x₂  >   x₁.⇒    f(x)     возрастает   (  ↑)  .

Нам достаточно найти максимум при некоторых значениях  , а минимум будет иметь то же по модулю значения, но обратный знак (если есть некоторое максимальное значение при  , то взяв  мы получим, что синус поменяет знак на противоположный, а косинусы сохранят знак. если же у минимума модуль больше, чем у максимума, то также поменяем знак и получим новый максимум) теперь осталось найти максимум. найдем наибольшее значение функции  : на полученном интервале f(x) убывает. кроме того, f(x) имеет период 4π. таким же образом приходим к интервалу на котором f(x) возрастает (просто меняем знак неравенства): значит достаточно проверить значение в точках  как нетрудно убедится, в этих точках таким образом, но при  достигается это значение. значит максимальное значение:   минимальное: