Разложите на множители выражение m в квадрате n + m в квадрате

m²n+m²=m²*(n+1)

|x + 4| = 6 - |x|

Нули подмодульных выражений: x = -4; 0

1) x ∈ (-∞; -4]

-x - 4 = 6 + x

2x = -10

x = -5

2) x ∈ (-4; 0]

x + 4 = 6 + x

4 = 6 - неверное равенство ⇒ x ∈ ø

3) x ∈ (0; +∞)

x + 4 = 6 - x

2x = 2

x = 1

ответ: x = -5; 1.

2. |x - 4| < |3x|

|x - 4| - |3x| < 0

Нули подмодульных выражений: x = 0; 4

1) x ∈ (-∞; 0]

-x + 4 + 3x < 0

2x < -4

x < -2

2) x ∈ (0; 4]

-x + 4 - 3x < 0

4x > 4

x > 1, с учётом условия x ∈ (1; 4]

3) x ∈ [4; +∞)

x - 4 - 3x < 0

2x > -4

x > -2, с учётом условия x ∈ [4; +∞)

Объединяя решения, получаем, что x ∈ (-∞;  -2) U (1; +∞).

ответ: x ∈ (-∞;  -2) U (1; +∞).

Алгебра есть не что иное, как математический язык, при для

обозначения отношений между количествами”.

И. Ньютон

Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над

различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

Решим задачу: “Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет

возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих младших братьев?”

Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) +

(6 + х) откуда х = 4. Близкий к описанному метод решения задач был известен

еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не

применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней

математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к

уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте

братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида ах2 = b.

Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в

Древнем Вавилоне; в математических текстах, выполненных клинописью на

глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы

уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При

этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения “типовых”

задач, из которых решения аналогичных задач получались заменой числовых

данных. В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных

преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный

корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное

значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и

а/х.

Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.

С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай,

страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод

последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных

уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших

степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и

усовершенствовали буквенную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего

Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную ветвь

математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в.

узбекский математик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат “Китаб

аль-джебр валь-мукабала”, где дал общие правила для решения уравнений

первой степени. Слово,,алъ-джебр" (восстановление), от которого новая наука

алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов

уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока

изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей

формулы для их корней.

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных

математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок.

1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал

сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см.

Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением

западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения

кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. Дель

Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и

уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями

кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к

открытию комплексных чисел.