Дана арифметическая прогрессия 4, 8, 12. найти шестой член и сумму первых 12 членов

1. Доказать тождество

sinα +sin5α+sin7α +sin11α  = 4cos2α*cos3α*sin6α

sinα +sin5α+sin7α +sin11α =(sin5α +sinα) +(sin11α+sin7α) =

2sin3α*cos2α +2sin9α*cos2α =2cos2α*(sin9α+sin3α)=

2cos2α*2sin6α*cos3α =4cos2α*cos3α*sin6α

- - - - - - -

2.Найдите значение выражения sin2α*cos5α -sinα*cos6α ,если sinα = -1/√3

- - -

Cначала упростим выражение:

sin2α*cos5α -sinα*cos6α =2sinα*cos∝*cos5α - sinα*cos6α =

sinα(2cos5α*cos∝  - sinα*cos6α )=sinα*(cos6∝+cos4α -cos6α ) =

sinα*cos4α =sinα*(1 - 2sin²2α) = sinα*( 1 -2*(2sinα*cosα)² )=

= sinα*( 1 -8sin²α*cos²α ) =sinα*( 1 -8sin²α*(1 -sin²α) ) =  || sinα =-1/√3 ||

= (-1/√3)*( 1 -8*(-1/√3)² *(1 - (-1/√3)² )  = - 1/√3 *( 1- (8/3)*(2/3) ) = 7√3 / 27

Объяснение:

Удаляем знак модуля и превращаем в квадратное уравнение: y =2*x²- 9*x- 5 ≥ 0 - квадратное уравнение.

D = b² - 4*a*c = (-9)² - 4*(2)*(-5) = 121 - дискриминант. √D = 11.

x₁ = (-b+√D)/(2*a) = (9+11)/(2*2) = 20/4 = 5 - первый корень

x₂ = (-b-√D)/(2*a) = (9-11)/(2*2) = -2/4 = -0,5 - второй корень

Это две точки где границы уравнения задачи. Записываем неравенство:

y ≥ 20 при х ∈(-∞;- 0.5]∪[5;+∞)

Наименьшее положительное - х = 5 - ответ.

Рисунок с графиком функции показывает, что отрицательным это выражение не бывает.