35 ! найдите промежутки монотонной функции

Пусть х - сумма чисел в 1-ой группе. Тогда во второй группе сумма будет 2х, в третей - 4х и т.д. Значит, если было k групп, то сумма всех чисел от 1 до 13 равна x+2x+4x+...+x*2^(k-1)=1+...+13=(1+13)*13/2=13*7.
Т.е. x(1+2+4+...+2^(k-1))=7*13.
Видим, что 1+2+4=7, значит можно попробовать найти решение с x=13 и 3-мя группами. И такое решение действительно есть:
Первая группа состоит из одного числа 13, тогда во второй должна быть сумма 26, т.е. можно взять, например, 12, 11, 3 (т.к. 12+11+3=26) и все оставшиеся числа пойдут в третью группу, их сумма автоматически будет равна 4*13=52.
Итак, годится следующее разбиение:
1-ая группа: 13;
2-ая группа: 3+11+12=26;
3-яя группа: 1+2+4+5+6+7+8+9+10=52.

Раскроем скобки:

n(n² + 6n + 5) кратно шести.

6n² и так кратно шести, поэтому n³ + 5n кратно шести.

Пускай при делении n на 6 получим х плюс у в остаче, т. е. n/6 = x + y, тогда n можно записать как 6x + y, x ∈ Z, x ≥ 0, y ∈ {0;1;2;3;4;5}.

(6x + y)³ + 5*(6x + y) = (6x + y)((6x + y)² + 5) = (6x + y)(36x² + 12xy + y² + 5) = 216x³ + 72x²y + 6xy² + 30x + 36x²y + 12xy² + y³ + 5y = 216x³ + 108x²y + 18xy² + 30x + y³ + 5y.

Такие члены, как 216x³, 108x²y, 18xy², 30x делятся на 6, поэтому осталось доказать, что y³ + 5y = y(y² + 5) делится на 6.

Для этого просто рассмотрим все 6 случаев:

y = 0: 0 mod 6 = 0;
y = 1: 1 + 5 mod 6 = 0;
y = 2: 8 + 5*2 mod 6 = 0;
y = 3: 27 + 15 = 42 mod 6 = 0;
y = 4: 64 + 20 = 84 mod 6 = 0;
y = 5: 125 + 25 mod 6 = 0.