Числа x¹, x² являются корнями уравнения x²+px+q=0 докажите, что x¹+x²=-p; x¹x²=q​

пусть х1 и х2 корни уравнения ax^2 + bx + c = 0

тогда корни вычисляются через дискриминант

D = b^2 - 4ac

x12 = ( -b +- √D)/2a

x1 + x2 = ( -b + √D)/2a + ( -b + √D)/2a = -2b/2a = -b/a

x1*x2 = ( -b + √D)/2a*( -b - √D)/2a = ((-b)^2 - √D²)/4a^2 = (b^2 - b^2 + 4ac)/4a^2 = 4ac/4a^2 = a/c

это для общего вида

для приведенного a=1 b=p c = q

D=p^2 - 4q

x12 = (-p +- √D)/2

x1 + x2 = ( -p + √D)/2 + ( -p + √D)/2 = -2p/2 = -p

x1*x2 = ( -p + √D)/2*( -p - √D)/2 = ((-p)^2 - √D²)/4 = (p^2 - p^2 + 4q)/4 = 4q/4 = q

ничего сложного нет, надо применять немного то что известно

1) Ряд Тейлора
f(x0) = ln 2
f ' (x) = 1/x; f ' (x0) = 1/2
f '' (x) = -1/x^2 = -x^(-2); f '' (x0) = -1/4
f ''' (x) = -(-2)x^(-3) = 2x^(-3) = 2/x^3; f ''' (x0) = 2/8 = 1/4
f(iv) (x) = 2(-3)x^(-4) = -6x^(-4) = -6/x^4; f(iv) (x0) = -6/16 = -3/8
И так далее
f(x) = f(x0) + f ' (x0)*(x-x0)/1! + f '' (x0)*(x-x0)^2/2! + f ''' (x0)*(x-x0)^3/3! + ... =
= ln 2 + 1/2*(x-2) - 1/4*(x-2)^2/2 + 1/4*(x-2)^3/6 - 3/8*(x-2)^4/24 + ...
f(x) = ln 2 + 1/2*(x-2) - 1/8*(x-2)^2 + 1/24*(x-2)^3 - 1/64*(x-2)^4 + ...

2) Тут не очень понятно, что под корнями в знаменателях

4^x = (2^x)^2
9^x = (3^x)^2
6^x = 2^x * 3^x
здесь нужно делить обе части равенства на (2^x)^2
или на (3^x)^2 ---без разницы)))
разделим на (2^x)^2
подучим: 1 - 12*(3^x) / (2^x) + 11* ((3/2)^x)^2 = 0
это квадратное уравнение относительно (3/2)^x
D=12*12 - 4*11 = 4*(36-11) = 4*25 = 10^2
корни: (12 +- 10) / 22
(3/2)^x = 1  --->  x = 0
(3/2)^x = 1/11  --->  (2/3)^x = 11 ---> x = log(2/3) (11)

разделим на (3^x)^2
подучим: ((2^x)/(3^x))^2 - 12*(2^x) / (3^x) + 11 = 0
это квадратное уравнение относительно (2/3)^x
D=12*12 - 4*11 = 4*(36-11) = 4*25 = 10^2
корни: (12 +- 10) / 2 = 6 +- 5
(2/3)^x = 1  --->  x = 0
(2/3)^x = 11  --->  x = log(2/3) (11)