Производная 11 класс 63 дана функция y=f(x)=x^3-6x^2+9x+7найдите а)критические точки функции f(x) на отрезке [-2; 2]б) наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2; 2]​

1) у'=3х²-12х+9=0

Д=144-108=36=6²

1 принадлежит [-2:2]

3 не принадлежит [-2:2]

2) у(1)=1³-6×1²+9×1+7=1-6+9+7=11

у(-2)=(-2)³-6×(-2)²+9×(-2)+7=-8-24-18+7=-43

у(2)=2³-6×2²+9×2+7=8-24+18+7=9

3) наиб у(1)=11

Наим у(-2)=-43

Воспользуемся следующей формулой и разложим трёхчлен в числителе на множители :
ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Находим корни:
а² + 5а + 6 = 0

По теореме Виета:
{ a₁ + a₂ = -5
{ a₁ × a₂ = 6

a₁ = -3
a₂ = -2

Подставляем в формулу:
а²+5а+6 = (a - (-3))(a - (-2)) = (a+3)(a+2)

Теперь, трёхчлен в знаменателе является полным квадратом:
а² + 4a + 4 = (a + 2)²

Подставляем разложенные на множители квадратные трехчлены в изначальное выражение:

(а² + 5а + 6) / (а² + 4a + 4) =
(a+3)(a+2) / ( (a+2)² ) = (a+3) / (a+2)

ответ: (a+3) / (a+2)

Находим производную заданной функции:

Отсюда видно, что производная равна нулю только в одной точке х = 0.
Но у функции есть 2 точки разрыва, которые легко увидеть, если уравнение записать в виде (разложив знаменатель на множители):

То есть в точках х=-2 и х=2 функция имеет разрыв.
В этих же точках производная не существует.
Из этого следует, что функция имеет 3 критические точки:
х = -2,  х = 0,  х = 2.
Найдём знаки производной левее и правее этих точек:
х =    -3          -2      -1          0         1          2           3
y' = 1.92          -       1.78      0      -1.78        -        -1.92.
Из этой таблицы видно, что у функции есть местный максимум в точке х = 0, при переходе через которую производная меняет знак с + на -.
Также можно дать ответ на монотонность функции:
Где производная положительна - там функция возрастает, где производная отрицательна - там функция убывает.
Функция возрастает:   (-∞ < x < -2) ∪ (-2 < x < 0),
                  убывает:   (0 < x < 2)  ∪ (2 < x < +∞).