Для контрольной работы учащимся предложили тест из 8 количество верных ответов полученных каждому учащемуся из 48 составила в таблице 30.2​

у = 0,5х⁴ - 4х²

у' = 2х³ - 8х

Найдём точки, где у'  = 0

2х³ - 8х = 0

2х·(х² - 4) = 0

х₁ = 0 или х₂,₃ = ±2

1) Найдём интервалы монотонности, для этого разобьём ось х на интервалы и определим знаки производной в этих интервалах

-2 0 2

у'(-3) = 2·(-27) - 8·(-3) = -30   у' < 0,  у убывает

у'(-1) = 2·(-1) - 8·(-1) = 6   у' > 0,  у возрастает

у'(1) = 2·1 - 8·1 = -6   у' < 0,  у убывает

у'(3) = 2·27 - 8·3 = 30   у' > 0,  у возрастает

Итак, промежутки возрастания и убываня функции:

Функция возрастает при х∈[-2, 0] и [2, +∞)

Функция убывает при х∈(-∞, -2] и [0, 2]

 

2) Найдём точки локальных экстремумов и экстремальные значения функции.

В точке  х = -2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

В точке  х = 0 производная меняет знак с + на -, поэтому это точка максимума

В точке  х = 2 производная меняет знак с - на +, поэтому это точка минимума

y min 1 = y(-2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

y min 2 = y(2) = 0,5·16 - 4·4 = -8

y max = y(0) = 0,5·0 - 4·0 = 0

 

3) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3]

На концах интервала функция принимает значения:

у(-1) = 0,5·1 - 4·1 = -3,5

у(3) = 0,5·81 - 4·9 = 4,5

В указанном интервале [-1;3] мы имеем один локальный максимум

y max = y(0) = 0

и один локальный минимум

y min = y(2) =  -8

Сравнивая все четыре значения функции, видим, что

у наиб = у(3) = 4,5

у наим = y(2) =  -8

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть одному  комбайну для уборки поля потребовалось бы х дней, тогда второму

потребовалось бы  х+6  дней. 

   Основная формула работы  А = Рt,

где А - работа,  Р - производителность, t - время.

Откуда  Р = 1/t

 

Работу по уборке всего поля обозначим за 1,

тогда производительность первого комбайна равна   Р₁ = 1/х

        комбайна равна    Р₂ = 1/х+6,

 

а  при совместной работе общая производительность равна Р₁ + Р₂ = 1/х + 1/х+6

Т.к. по условию вместе два комбайна убрали поле за 4 дня, составим уравнение:

 

(1/х + 1/х+6 )*4  = 1

(х+6 + х)*4/ х(х+6) = 1              |* х(х+6)

(2х+6)*4 = х(х+6)

8х + 24 = х² + 6х

х² + 6х - 8х - 24 = 0

х² - 2х - 24 = 0

D = 4 + 4*24 = 4 + 96 = 100

√D = 10

х₁₂ = (2 ± 10) /2   =>  х₁ = 6,   х₂ = -4 (посторонний корень)

-  первому комбайну для уборки поля потребовалось 6 дней

х+6 = 6 + 6 = 12 (дн)  потребовалось для уборки поля  второму комбайну

ответ: 6 дней и 12 дней.