На рис. 3.15 построены графики функции y = ax²+bx+c в различных вариантах. по каждому графику этого рисунка определите знаки коэффициентов a, b и с.​

Чертеж I:  a<0, b>0, c>0

Чертеж II: a>0, b<0, c>0

Чертеж III: a>0, b<0, c=0

Чертёж IV: a<0, b=0, c<0

Объяснение:

1) знак коэффициента а нам указывают ветви параболы. Если они направлены вверх, то а>0, если вниз, то а<0/

Чертеж I:  ветви параболы направлены вниз, значит a<0

Чертеж II: ветви параболы направлены вверх, значит a>0

Чертеж III:  ветви параболы направлены вверх, значит a>0

Чертёж IV: ветви параболы направлены вниз, значит a<0

2) знак коэффициента с мы находим по ординате точки пересечения параболы с осью Оу: если она расположена выше оси Ох, то с>0, если она ниже оси Ох, то с<0, если парабола пересекает начало координат, то с=0.

Чертеж I:  c>0

Чертеж II: c>0

Чертеж III: c=0

Чертёж IV: c<0

3) знак коэффициента b мы находим с абсциссы вершины параболы:  m=-b/2a

Чертеж I:  m>0, a<0 => 2a<0 => -b<0 => b>0

Чертеж II: m>0, a>0 =>2a>0 => -b>0 => b<0

Чертеж III: m>0, a>0 => 2a>0 => -b>0 => b <0

Чертёж IV: m=0, a<0 => 2a<0 => b=0

Теперь, все наши выводы представим в более компактном виде:

Чертеж I:  a<0, b>0, c>0

Чертеж II: a>0, b<0, c>0

Чертеж III: a>0, b<0, c=0

Чертёж IV: a<0, b=0, c<0

A)  y = 2*(x^3) - 3*(x^2)   (-1;3)
Находим первую производную функции:
y' = 6*(x^2) - 6x
или
y' = 6x(x-1)
Приравниваем ее к нулю:
6*(x^2) - 6x = 0
x(x - 1) = 0
x1 = 0
x2 = 1
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0) = 0
f(1) = -1
f(-1) = -5
f(3) = 27
ответ:  fmin = -5, fmax = 27
б)  x^3 + 3x    (-1;2)
Находим первую производную функции:
y' = 3*(x^2) + 3
Приравниваем ее к нулю:
3*(x^2) + 3 = 0
Глобальных экстремумов нет
Находим стационарные точки:
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-1) = - 4
f(2) = 14
ответ:
Имеются только локальные экстремумы (на заданном интервале)
fmin = -4, fmax = 14
в) y =  2*(x^3) - 6*(x^2) + 9   (-2;2)
Находим первую производную функции:
y' = 6*(x^2) - 12x
или
y' = 6x(x-2)
Приравниваем ее к нулю:
6x(x-2) = 0
x1 = 0
x2 = 2
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0) = 9
f(2) = 1
f(-2) = -31
f(2) = 1
ответ:  fmin = -31, fmax = 9
г)  y = (x^3) - 3x    (-2;3)
Находим первую производную функции:
y' = 3*(x^2) - 3
Приравниваем ее к нулю:
3*(x^2) - 3 = 0
x1 = -1
x2 = 1
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-1) = 2
f(1) = -2
f(-2) = -2
f(3) = 18
ответ:fmin = -2, fmax = 18

Задание 1  

Составьте уравнение касательной к графику функции  

у=2х²+1 в точке Х₀=2

Уравнение касательной:

у(кас)= f(x₀)+f`(x₀)*(x-x₀)

найдем f(x₀)=2*2²+1=9

найдем f`(x)=(2x²+1)`=4x

f`(x₀)=4*2=8

Тогда уравнение касательной

у(кас)=9+8(х-2)=9+8х-16=8х-7

Задание 2  

Для функции f(x) = - x³ + 3х +2

Найдите:

а) промежутки возрастания и экстремумы функции

Найдем производную нашей функции

f`(x)= -3x²+3

найдем нули производной

f`(x)=0

-3x²+3=0; x²=1; x=±1

точки экстремума х=±1

Теперь определим промежутки возрастания и убывания

для этого определим знаки производной на промежутках

__- -1+1-

убывает        возрастает     убывает

промежутки убывания (-∞;-1]∪[1;+∞)

промежутки возрастания [-1;1]

точка х= -1 точка минимума

точка х=1 точка  максимума

б) наибольшее и наименьшее значение на отрезке [1 ; 3]

На данном отрезке функция убывает, значит

при х=1 наибольшее значение f(1)= -1³+3*1+2=4

при х= 3 наименьшее значение f(3)= -3³+3(3)+2= -27+9+2= -16