Тема:Область определения арккотангенса

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:    

Решение 1

Заметим, что      (мы использовали неравенство      между средним арифметическим и средним гармоническим для положительных x, y). Осталось сложить три аналогичных неравенства.

Решение 2

 Не умаляя общности, можно считать, что  a ≥ b ≥ c,  тогда  1 – c² ≥ 1 – b² ≥ 1 – a²  и, следовательно,  

 Заметим, что     Таким образом, нужно доказать неравенство  

 Поскольку сумма числителей равна 0, неравенство будет доказано, если мы заменим знаменатели на равные таким образом, что каждая дробь при этом не увеличится. Если  a ≥ b ≥ ⅓ ≥ c,  то заменим все знаменатели на  1 – c²,  в результате отрицательное слагаемое не изменится, а положительные не увеличатся. Если  a ≥ ⅓ b ≥ c,  то заменим все знаменатели на  1 – b²,  тогда положительное слагаемое и одно из отрицательных только уменьшатся, а второе отрицательное слагаемое останется неизменным.

Выбирай 1 или 2

пусть О центр окружности, тогда

пусть ОК- перпендикуляр к ВС,

ОК и есть радиус треугольника

треугольники ОВС и КВО подобные, так как они оба прямоугольные, а угол В у них общий, тогда  

ОК/ВО=ОС/ВС  

ОС=6/2=3, ток как центр полувписаного круга делит пополам(равнобедренный ведь треугольник)

ВО^2=BC^2-OC^2=25-9=16

тогда

ОК=ОВ*ОС/ВС=4*3/5=12/5

тоесть радиус = 12/15

а далее расмотрим треугольник ВОК

BK^2=BO^2-OK^2=16-144/25=(400-144)/25=256/25=((16/5)^2

BK=16/5

КС=5-16/5=(25-16)/5=9/5

ответ

радиус 12/5

делит на отрезки

возле основы 9/5

возле вершины 16/5