В году в конкурсах «Золотой ключик» и « Золотой сундучок» приняла участие треть учащихся моего класса. Все участники получили дипломы в тех конкурсах, в которых они участвовали. Известно, что 20% дипломов принадлежат учащимся, которые участвовали в обоих конкурсах. Сколько учеников в моем классе, если в нем не более 40 учащихся?

16⁵ - 2⁴ = (2⁴)⁵ - 2⁴ = 2²⁰ - 2⁴

2¹=2
2²=4
2³=8
2⁴=16 (последняя цифра 6)

2⁵=32 (последняя цифра 2)
2⁶=64 (последняя цифра 4)
2⁷=128 (последняя цифра 8)
2⁸=256 (последняя цифра 6)
и т.д.
Наблюдаем закономерность - повторение последних цифр степеней числа 2 - это 2,4,8,6

20:4=5 (делится без остатка), значит, последняя цифра числа 2²⁰ равна 6
Т.к. последняя цифра числа 2⁴ также равна 6, получаем, что последняя цифра разности 2²⁰-2⁴ равна 0 (6-6=0).
Следовательно, последняя цифра разности 16⁵-2⁴ равна 0.
ответ: 0

1. Вычислите:
а) cos (pi/6)*cos (pi/4)*cos (pi/3)*cos (pi/2)=√3/2*√2/2*1/2*0=0
б) 2 sin 0+3 cos (pi/2)- 4sin (pi/2)=2*0+3*0-4*1=-4
в) tg (pi/4)* sin (pi/3)* ctg (pi/6)=1*√3/2*√3=3/2
г) tg^2 (pi/4)* sin (pi/3)* tg^2 (pi/3)=1*√3/2*√3=3/2
д) sin^2 (pi/4) + sin^2 (pi/3)=2/4+3/4=5/4
2. Упростите:
а) (1-cos a)(1+cos a)=1-сos²a=sin²a
б) (1- sin^2 a)/(cos^2 a)=cos²a/cos²a=1
в) cos^2 a + (1- sin^2 a)=cos²a+cos²a=2cos²a
г) (1- cos^2 a)/(1- sin^2 a)=sin²a/cos²a=tg²a
д) sin a * cos a * tg a=sina*cosa*sina/cosa=sin²a
е) (sin 2a)/(2 cos a)=2sinacosa/(2cosa)=sina
ж) 1/(sin a-1) - 1/(1+ sin a)
3. Дано:
sin a =- 2/√13
(3pi/2)< a < 2pi
cosa=√(1-sin²a)=√(1-4/13)=√(9/13)=3/√13
sin 2a =2sinacosa=2*(-2/√13)*3/√13=-12/13
cos 2a =cos²a-sin²a=9/13-4/13=5/13
tg 2a =sin2a/cos2a=-12/13:5/13=-12/13*13/5=-12/5