Согласно расписанию, автобус курсирует по маршруту из пункта А в пункт В и обратно с постоянной скоростью и без остановок. На пути из А в В он был вынужден остановиться на некоторое время, поэтому на обратном пути увели- чил скорость на 20%. Он прибыл в А вовремя. Какую часть планового времени, выделенного на путь из А в В, составляет продолжительность вынужденной остановки?

1. a) |x - 1| + 2|x - 3| = 5 - x
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x, |x - 3| = 3 - x
1 - x + 2(3 - x) = 5 - x
1 - x + 6 - 2x = 5 - x
1 + 6 - 5 = x + 2x - x
2x = 2; x = 1 - не подходит, потому что x < 1
Если x ∈ [1; 3), то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = 3 - x
x - 1 + 2(3 - x) = 5 - x
x - 1 + 6 - 2x = 5 - x
5 - x = 5 - x
Это верно при любом x ∈ [1; 3)
Если x >= 3, то |x - 1| = x - 1; |x - 3| = x - 3
x - 1 + 2(x - 3) = 5 - x
x - 1 + 2x - 6 = 5 - x
3x + x = 5 + 6 + 1
4x = 12
x = 3
ответ: x ∈ [1; 3]

b) |x - 1| = x^3 - 3x^2 + x + 1
Если x < 1, то |x - 1| = 1 - x
1 - x = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2x
x(x - 1)(x - 2) = 0
x1 = 0 < 1 - подходит
x2 = 1; x3 = 2 > 1 - оба не подходят.
Если x >= 1, то |x - 1| = x - 1
x - 1 = x^3 - 3x^2 + x + 1
0 = x^3 - 3x^2 + 2
x^3 - x^2 - 2x^2 + 2x - 2x + 2 = 0
(x - 1)(x^2 -2x - 2) = 0
x1 = 1 - подходит.
x^2 - 2x - 2 = 0
D = 2^2 - 4*(-2) = 4 + 8 = 12 = (2√3)^2
x2 = (2 - 2√3)/2 = 1 - √3 < 1 - не подходит
x3 = (2 + 2√3)/2 = 1 + √2 > 1 - подходит
ответ: x1 = 0; x2 = 1; x3 = 1 + √2

2. (|x - 3|) / (|x - 2| - 1) >= 1
Если x < 2, то |x - 2| = 2 - x; |x - 3| = 3 - x
(3 - x) / (2 - x - 1) >= 1
(3 - x) / (1 - x) = (x - 3) / (x - 1) >= 1
(x - 3 - x + 1) / (x - 1) = (-2) / (x - 1) >= 0
x - 1 < 0; x < 1 - это решение
Если x ∈ [2; 3), то |x - 2| = x - 2; |x - 3| = 3 - x
(3 - x) / (x - 2 - 1) = (3 - x) / (x - 3) = -1 >= 1 - неверно
x ∈ ∅
Если x >= 3, то |x - 2| = x - 2; |x - 3| = x - 3
(x - 3) / (x - 2 - 1) = (x - 3) / (x - 3) = 1 - это верно при любом x ≠ 3
x > 3 - это решение.
ответ: x ∈ (-oo; 1) U (3; +oo)

Первого греческого ученого, который начал рассуждать о математике, а не только пользоваться ею, звали Фалес. А о числах начал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосе в VI веке до нашей эры. Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе. Его ученики уверяли даже, что он был сыном самого солнечного бога Аполлона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошел к одной реке, та вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора! Но мало ли что рассказывали люди в то легковерное время!