Напиши уравнение касательной к графику функции f(x)=x2+6x+3 в точке с абсциссой x0=1 Найди тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику функции f(x)=(x−9)(x2+9x+81) в точке с абсциссой x0=5. Напиши уравнение касательной к графику функции y=2x в точке x=2, 5.

1. f(x)=x²+6x+3 ;  f(1)=1²+6*1+3=10

f'(x)=(x²+6x+3)'=2x+6;f(x)=2*1x+6=8

Искомое уравнение имеет вид        у= f(x₀)+ f(x₀)*(х-х₀)

  у=10+8 *(х-1)

у=8х+2

2.  f'(x)=((x−9)(x²+9x+81))'=x²+9x+81+(2х+9)*(x−9)=x²+9x+81+2х²-18х+9х−81=

3х²;  f'(5)=3*25=75 - это и есть тангенс угла наколона.

3. уравнения касательной к прямой не бывает.

Находим нули подмодульных выражений:


Тогда модуль будем раскрывать на интервалах:
1)
2)
3)



Значит, на первом интервале строим прямую у=х, сдвинутую на 8 единиц вверх; на втором - прямую у=-х, сдвинутую на 2 единицы вверх; на третьем - прямую у=х.

Прямая y=m параллельна оси х и проходит через точку (m; 0).

Проанализировав взаимное расположение графиков получим:
 - при m<1 - 1 пересечение
 - при m=1 - 2 пересечения
 - при 1<m<5 - 3 пересечения
 - при m=5 - 2 пересечения
 - при m>5 - 1 пересечение

Подходящие случаи: m=1 и m=5

ответ: 1 и 5

Дано: sinx-siny=m; cosx+cosy=n. Найти: sin(x-y) и cos(x-y).
Решение:
1. Воспользуемся формулами разность синусов и сумма косинусов:

Заметим, что оба равенства содержат один и тот же член: . Выразим его из обоих равенств:

В получившихся равенствах левые части равны, значит, равны и правые части:
.
Преобразуем данное равенство:




Теперь используем формулы понижения степени синуса и косинуса:

Преобразуем данное равенство:

n²(1-cos(x-y))=m²(1+cos(x-y));
n²-n²cos(x-y)=m²+m²cos(x-y);
m²cos(x-y)+n²cos(x-y)=n²-m²;
cos(x-y)(m²+n²)=n²-m²;

Используя основное тригонометрическое тождество, выразим sin(x-y):

ответ: