Является ли прогрессией последовательность (сл), заданная формулой: а) с„ = 3"; б) сл = -1, 5 • 2"; в) сл = 2" + 5"? подробное решение

исходя из определения геомметрической прогрессии:

а) да потому что отношение членов последовательности идущих подряд

c[n+1]/c[n]=3^(n+1)/3^n=3  - постоянное и равно числу.

 

б) да потому что отношение членов последовательности идущих подряд

c[n+1]/c[n]=(-1.5*2^(n+1)) / (-1.5*2^n)=2   - постоянное и равно числу.

 

d) нет

c[1]=2^1+7^1=2+7=9

c[2]=2^2+7^2=4+49=53

c[3]=2^3+7^3=8+343=351

 

c[3]/c[2] не равно c[2]/c[1] так как 351/53 не равно 53/9

а значит не выполняется условие прогрессии

Б) ab + b^2 > ab ab - ab + b^2 > 0 b^2 > 0 потому что если какое-либо из этих чисел будет отрицательное(вместе или порознь) левая часть будет больше, т.к. там есть b^2, что 100% будет положительным на числах например а = -3 b = 2 -6 + 4 > -6 -2 > -6 г) a^2 - ab > ab - b^2 если какое-либо из чисел будет отрицательным, то в левой части все будет положительным, т.к. возведено первое число в квадрат, а у другого уйдет минус в другом же минус появится на числах а = -3 b = 2 9 + 6 > 6 - 9 15 > -3

Можно использовать метод док-ва от противного, предположив, что b > a или что b-a=c> 0. b = c+a b^2=c^2+2ac+a^2 a^2-b^2 = -c^2-ac. левая часть по условию > 0, значит и правая тоже. запишем -c^2-ac > 0 при положительных а и с имеем положительные c^2 > 0 и ac> 0. приплюсуем их и слева и справа к обеим частям неравенства. -c^2-ac + c^2 +ac > c^2+ас. получим 0> c^2+ас, что неверно. значит исходное b> a неверно. поскольку а не равно b (иначе разность квадратов нулевая) , остаётся что верно только a> b. другой способ. дано a> 0, b> 0, a^2-b^2> 0. пусть a^2-b^2 = n > 0 тогда легко вычислить с=n/(2a+2b), причем ясно, что c> 0, так как все числа положительны. запишем тогда n=c(2a+2b) и тогда a^2-b^2 = c(2a+2b) > 0 a^2 - 2ac =b^2 +2bc дополним левую часть до квадрата. a^2 - 2ac +с^2 =b^2 +2bc +c^2 (a-c)^2=(b+c)^2 следовательно (a-c)=(b+c) a-b = 2c > 0 a-b > 0 или a> b, что и тр. док-ть.