Вычислите координаты точек пересечения гиперболы y = 3/x и y = x - 2

Пусть (x₀;y₀) - точка касания. Так как точка  (x₀;y₀) находится на параболе y=x², то точка имеет координаты (x₀;x²₀)

0 < x₀< 6

Уравнение касательной к кривой  y=f(x) в точке (x₀;y₀)  имеет вид:

y- f(x₀)=f`(x₀)(x-x₀)

f`(x)=2x

f`(x₀)=2x₀

y -x²₀ =2x₀(x-x₀)

y=2x₀x - x²₀  - уравнение касательной

Касательная пересекает ось Ох в точке A(x₀/2)

2x₀x - x²₀=0

x₀(2x - x₀)=0

х=x₀/2

Касательная пересекает прямую х=3 в точке B(3; 6x₀ - x²₀)

y=2x₀ 3 - x²₀

y = 6x₀ - x²₀

Пусть С(3;0)

BC=6x₀ - x²₀

AC=3-(x₀/2)

S_(Δ)=(1/2)AC*BC=(1/2)(3-(x₀/2))·(6x₀ - x²₀) - исследуем  функцию на экстремум  на [0;3]

Обозначим x₀=t

S(t)=(1/2)(3-(t/2))·(6t - t²)

S(t)=(1/4)(6-t)·(6t - t²)

S(t)=(1/4)*F(t)

F(t)=t(6-t)^2

S(t)  принимает наибольшее значения в тех же точках, в каких и F(t)

Исследуем на [0;3]

F`(t)=t`·(6-t)²+t·((6-t)²)`=(6-t)²+t·2(6-t)·(6-t)`=(6-t)(6-t-2t)=(6-t)(6-3t)

F`(t)=0

6-t=0 ⇒  t=6 не  принадлежит [0;3]  или  6-3t=0 ⇒ t=2  принадлежит [0;3]

t=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

О т в е т.  S(2)=(1/4)(6-2)·(6·2 - 2²) ;  S(2)=8 - наибольшее значение

ответ: а) нет

            б) да

            в) нет

Объяснение:

Так как график  функции y=a/x проходит через точку А(-3;3), то её координаты подставим в уравнение функции:

А(-3;3), х=-3,у = 3.

3 = а · ( -3 )

а = 3 : ( -3 )

а = - 1

Значит, функция задана уравнением у = - х.

Проверим, принадлежат ли точки B, C, D графику этой функции. Подсавив координаты проверим истинность равенств.

а) B(-1;9), х = -1, у = 9

9 = - ( - 1)

9 ≠ 1, значит B(-1;9) не принадлежит графику.

б) C(3;-3), х = 3, у = -3

- 3 = - 3, верно, значит C(3;-3) принадлежит графику.

в) D(1;-9)​, х = 1, у = -9

-9 ≠ - 1, значит D(1;-9)  не принадлежит графику.