Знайти десятий член та суму перших п'ятнадцяти членів арифметичної прогресії -13 ; -11, 5 ; -10 ; ...​

√f(x) ≥ g(x) ⇔ совокупности 2-х систем

1. f(x) ≥ 0

g(x) ≤ 0

2. g(x) > 0

f(x) ≥ g²(x)

√(10 - 7log(2) x + log²(2) x) ≥ 3 - log(2) x

одз x > 0 логарифм

(log(2) x - 2)(log(2) x - 5) > 0 корень

x ∈ (-∞,4] U [32, +∞)

общее x ∈ (0,4] U [32, +∞)

√((log(2) x - 2)(log(2) x - 5)) ≥ 3 - log(2) x

1.  f(x) ≥ 0

g(x) ≤ 0

3 - log(2) x ≤ 0

(log(2) x - 2)(log(2) x - 5) ≥ 0

log(2) x = t

t ≥ 3

(t - 2)(t - 5) ≥ 0

[2] [5]

t ≤ 2

log(2) x ≤ 2

x ≤ 4

t ≥ 5

log(2) x ≥ 5

x ≥ 32

x ∈  [32, +∞)

2.  g(x) > 0

f(x) ≥ g²(x)

3 - log(2) x > 0    

x < 8

10 - 7log(2) x + log²(2) x ≥ (3 - log(2) x)²

10 - 7log(2) x + log²(2) x ≥ 9 - 6log(2) x + log²(2) x

1  ≥ log(2) x

x ≤ 2

учитывая одз

решение x  ∈ (0,2] U [32, +∞)

не являются решением натуральные х ∈ (2, 32)

29 чисел от 3 до 31

1) Пусть b1 = 640 – изначальная масса изотопа, тогда
b2 – масса изотопа через 7 мин,
b3 – масса изотопа через 14 минут,
…
b7 – масса изотопа через 42 минуты.
Знаменатель прогрессии q равен ½, т.к. масса уменьшается вдвое. По формуле n-ого члена геометрической прогрессии найдем b7.
bn = b1qn-1;
b7 = 640 · (½)7-1 = 640 · (1/64) = 10.
Ответ: 10.

2) Пусть b1=13 – изначальная масса микроорганизмов, тогда
b2 – масса организмов через 30 мин,
b3 – масса организмов через 60 мин,
b4 – масса организмов через 90 мин.
Знаменатель прогрессии q равен 3. По формуле n-ого члена геометрической прогрессии найдем b4.
bn = b1qn-1;
b4 = 13 · 34-1 = 13 · 27 = 351.
Ответ: 351.

3) Данная задача, по идее, решается через геометрическую прогрессию, но пока поймешь, как ее использовать – время экзамена выйдет. Поэтому решим ее без формул.
Итак, через 8 минут изотоп Б вберет себя половину массы изотопа А. Его вес составит 80 мг.
Через 16 минут изотоп Б снова вберет себя половину массы оставшегося изотопа А. Т.е. прибавится еще 40 мг и получится изотоп Б массой 80 + 40 = 120 мг.
Через 24 минут к изотопу Б опять прибавится половина массы оставшейся части изотопа А, т.е. изотоп Б будет иметь массу уже 120 + 20 = 140 мг.
Через 32 минут изотоп Б будет весить уже 140 + 10 = 150 мг, т.к. к нему прибавится половина массы оставшегося кусочка изотопа А.
И, наконец, через 40 минут изотоп Б будет иметь массу 150 + 5 = 155 мг.

4) Так-так, геометрическая прогрессия…
Первый отскок b1 = 360, знаменатель прогрессии равен 1/3, bn = 15, номер отскока n неизвестен и его надо найти.
Используем обычную формулу, немного изменив ее до неравенства (ведь высота должна быть меньше 15):
bn>b1q^n-1;
15>360*(1/3)^n-1;
(1/3)^n-1<15/360;
(1/3)^n-1<1/24.
Подбираем значение n так, чтобы неравенство было верным.
Если n = 3, то дробь в левой часть будет равна 1/9. Это неравенство будет неверным. (Если у дробей одинаковые числители и разные знаменатели, то больше будет та дробь, у которой знаменатель меньше. Действительно, 1/2 торта больше, чем 1/3).
Если n = 4, то дробь в левой части неравенства окажется равной 1/27. Этот вариант подходит.
Значит, ответ: 4.
Но решая по формуле получается какой-то ужас. Слишком сложно. Можно проще.
Первый отскок: 360.
Второй отскок (высота в 3 раза меньше): 360 : 3 = 120.
Третий отскок: 120 : 3 = 40.
Четвертый отскок: 40 : 3 ≈ 13.
Ответ: 4.